Окръжност, ъгли, триъгълници

[moni2003petrova]

Точките A, B, C разделят окръжност на 3 равни дъги. Точка D [tex]\in[/tex] дъгата АB, а точка Е е от хордата CD, така че CE=BD.
Докажете, че:
а)\angleCAE=\angleBAD;
б)CD=AD+BD.

[Davids]

geogebra-export.png (282.19 KiB) Прегледано 417 пъти

a) По условие имаме $CE = BD$. Паралелно с това имаме $\angle DBA = \angle DCA = \frac{\widehat{AD}}{2}$, а също и $AB = AC$, тъй като са хорди към равни дъги. От тези три неща извличаме еднаквостта на $\Delta ADB \cong \Delta AEC$. Оттам вече е ясно защо $\angle BAD = \angle EAC$
b) това, което се иска да се докаже, е еквивалентно на доказателството, че $AD = ED$. Ще го докажем, като всъщност достигнем до извода, че $\Delta ADE$ е равностранен. Първо имаме $\angle ADE = \frac{\widehat{AC}}{2} = 60^{\circ}$ (не забравяме, че три равни дъги в окръжността имат всяка големина от по 120 градуса). Паралелно с това вече доказахме, че $\angle BAD = \angle EAC$, следователно и дъгите срещу тях са равни. Това ще рече, че например $\angle EAD = \frac{\widehat{DB} + \widehat{BK}}{2}$, но тъй като $\widehat{BK} = \widehat{BC} - \widehat{CK}$, а $\widehat{CK} = \widehat{DB}$ (от равенството на ъглите срещу тях, което споменахме), то тогава $\angle EAD = \frac{\widehat{DB} + \widehat{BK}}{2} = \frac{\widehat{DB} + \widehat{BC} - \widehat{DB}}{2} = \frac{\widehat{BC}}{2} = 60^{\circ}$. Така доказахме равностранността на триъгълника, а от там и $AD = ED$, откъдето и $CD = CE + ED = AD + BD$