Забележителни точки в триъгълник

[Ivana_petkova]

Здравейте, реших да си направя преговор по математика малко преди началото на учебната година. Сега ще съм 9 клас и преговарям от учебника ми за 8 клас. Стигнах до една задача,която ме затрудни и се надявам някой да ми помогне. Благодаря на отзовалите се предварително!
Даден е остроъгълен триъгълник АВС с ортоцентър Н, център на вписаната окръжност J и център на описаната окръжност О. Намерете ъгъл АСВ, ако:
а) точките A, O, J и B лежат на окръжност;
б) точките A, Н, J и B лежат на окръжност;

[Knowledge Greedy]

Известно е, че [tex]\angle AJB=90^\circ+\frac{\gamma}{2}[/tex]
а)

A comma O comma J and B на една окръжност.png (6.17 KiB) Прегледано 508 пъти

Ъгълът [tex]\angle AOB[/tex] е централен в описаната окръжност около [tex]\triangle ABC[/tex] и има мярка [tex]\angle AOB = 2\gamma[/tex], защото [tex]\angle ACB = \gamma[/tex] e вписан в същата окръжност, опиращ се на същата дъга.
Има две възможности за четириъгълника с върхове A, B, O и J да е вписан в окръжност.
1.) [tex]\angle AOB+\angle AJB=180^\circ[/tex]
2.) [tex]\angle AOB=\angle AJB[/tex]
Първата дава [tex]\angle ACB=72^\circ[/tex],
а втората дава [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex].

б) Отново ще използваме, че [tex]\angle AJB=90^\circ+\frac{\gamma}{2}[/tex], а също и факта, че [tex]\angle AHB=180^\circ - \gamma[/tex]

A comma H comma J and B на една окръжност.png (7.69 KiB) Прегледано 508 пъти

Съвсем аналогично отново разглеждаме два случая, един от които ([tex]\angle AHB =\angle AJB[/tex]) не дава реален геометричен обект триъгълник ([tex]\angle ACB=180^\circ[/tex]), а в другия - когато [tex]\angle AHB+\angle AJB=180^\circ[/tex], се получава [tex]\gamma =60^\circ[/tex]
_____________
Пет точки на една окръжност.
От а) и б) следва, че трите забележителни точки [tex]O[/tex], [tex]H[/tex] и [tex]J[/tex], в случая на [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex], лежат на една окръжност заедно с два от върховете - [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], на триъгълника [tex]\triangle ABC[/tex].