да се докаже ,че 1/Ra+1/Rb+1/Rc=1/R

[moni86086]

да се докаже ,че 1/Ra+1/Rb+1/Rc=1/R,където Rе радиусът на вписаната в триъгълника окръжност,а Ra,Rb,Rc са радиусите на външно вписаните му окръжности

[martin123456]

Нека [tex]O_a[/tex] е центъра на външновписаната при [tex]BC[/tex]. нека [tex]O_a \bot AB[/tex] и [tex]O_aN \bot AC[/tex] и [tex]O_aK \bot BC[/tex] и [tex]CK=x=CN[/tex], [tex]BK=a-x=BM[/tex]. Тогава [tex]AN=AM[/tex] като допирателни и значи [tex]b+x=c+a-x \Leftrightarrow x=p-b[/tex]. Нека [tex]S_{ABC}=S[/tex]. [tex]S_{ANO_aM}=S_{ANO_a}+S_{AMO_a}=2S_{ANO_a}=(b+x)R_a=pR_a[/tex]. от друга страна [tex]S_{ANO_aM}=S_{CBMO_aN}+S=2S_{CO_aN}+2S_{BMO_a}+S=R_aa+S[/tex]=>[tex]pR_a=S+R_aa[/tex]=>[tex]R_a=\frac{S}{p-a}[/tex]. аналогично намираме и другите. значи [tex]\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_c}=\frac{p-a+p-b+p-c}{S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{R}[/tex], поради известното [tex]S=pR[/tex]