вписан четириъгълник в окръжност

[limabo]

Здравейте, бих искала да попитам за следната задача, която ми е за домашна от училище. Опитах доста начини, но не ми се получава.

В окръжност е вписан четириъгълник ABCD. Страните му AB и CD са продължени до пресичането им в точка М. Да се намерят DC и MA, ако AB = 21cm, BC = 2cm, MC = 4cm и AD = 12cm.

Благодаря ви много предварително!

[KOPMOPAH]

Вписан четириъгълник.png (9.29 KiB) Прегледано 2275 пъти

За решението използваме, че $\triangle AMD \approx \triangle CMB $. Доказателството е лесно - $\measuredangle DAB + \measuredangle BCD = 180^\circ$ като срещуположни ъгли на вписан четириъгълник, а $\measuredangle BCD + \measuredangle BCM = 180^\circ$ като съседни.

От подобието следва: $$\frac 4{x+21}=\frac 2{12} \Right 48=2(x+21) \Right x=3$$ и $$\frac x{y+4}=\frac 2{12} \Right \frac 3{y+4}=\frac 16 \Right 18=y+4 \Right y=14$$

[limabo]

Много благодаря!
Изникна и още една, която ме затруднява.

За триъгълник ABC е известно, че AC=BC=1 cm, AL, BF, CD са ъглополовящи, а C, F, D, L лежат на една окръжност. Да се намери AB.

Отговорът е √17 - 1 върху 2

[Davids]

За начало ще означим $AB = a$. От това, че триъгълникът е равнобедрен, следва, че $CD \bot AB \Rightarrow CD = h$. Също така $\angle DLC = \angle BFC = 90°$, тъй като са равни ъгли от ъглополовящи към бедра и освен това са срещуположни вписани ъгли в окръжност. Ако означим $BL = AF = x$ и $DL = DF = y$, тогава $CL = CF = 1-x$.
От свойството на ъглополовящата имаме $\frac{1-x}{x} = \frac{1}{a}$.
От $sin\angle DCB = \frac{y}{h} = \frac{a}{2}$
От Питагорова теорема за $\triangle DLC \Rightarrow h^2 = y^2 + (1-x)^2$
Аналогично от $\triangle DBL \Rightarrow \frac{a^2}{4} = x^2 + y^2$

Решаваш тази система и си намираш $a$

[limabo]

Страшно много ти благодаря!