Описана около триъгълник окръжност

[Антония Стоева]

Става въпрос за математика за 9 клас( по новата програма). Учили сме теорема на Талес, подробност на триъгълници (1,2 и 3 признак), свойство на ъглополовяща в триъгълник и свойство на подобните триъгълници.

Ако може и чертеж, ще съм Ви благодарна!!!

Ето я и задачата:
През точка D от основата AB на равнобедрен триъгълник ABC е прекаран лъч CD, пресичащ описаната около триъгълник ABC окръжност в точка E. Намерете AC, ако CE е равна на 6 см. и DE към DC се отнася така както 1 към 2.

[Davids]

Triangle.png (27 KiB) Прегледано 478 пъти

Взимаме подобието $\triangle AEC \sim \triangle ADC$, което ще оставя на теб да докажеш, и то ни дава отношението:
$\frac{EC}{AC} = \frac{AC}{CD} \Rightarrow AC^2 = EC.CD = 6.4 = 24 \Rightarrow AC = 2\sqrt{6}$

[S.B.]

Без заглавие (88).png (230.27 KiB) Прегледано 479 пъти

През точка D от основата AB на равнобедрен триъгълник ABC е прекаран лъч CD, пресичащ описаната около триъгълник ABC окръжност в точка E. Намерете AC, ако CE е равна на 6 см. и DE към DC се отнася така както 1 към 2.

$DE : DC = 1 : 2$ [tex]\Rightarrow DE = x, DC = 2x , CE = CD + DE \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2[/tex] и тогава $DE = 2 , CD = 4$
$ \angle CEB = \frac{д. CB}{2} \Rightarrow \angle CEB = \angle A, \angle A = \angle B \Rightarrow \angle CEB = \angle CBD$
$\triangle CBE \approx \triangle CBD$ защото $\angle CEB = \angle CBD ,\angle DCB = \angle ECB$ (общ)
От подобността имаме: $\frac{CB}{CD} = \frac{CE}{CB} \Rightarrow \frac{CB}{4} = \frac{6}{CB}$

Ако $CB = x$ получаваме :$\frac{x}{4} = \frac{6}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 24 \Leftrightarrow x^{2} - 24 = 0 \Leftrightarrow (x + \sqrt{24})(x - \sqrt{24}) = 0$
От където $x_{1 } = - \sqrt{24} < 0$ не е решение и $x_{2 } = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
Получихме $BC = 2 \sqrt{6}$, но $AC = BC \Rightarrow AC = 2\sqrt{6}$