Задача с полуокръжности

[dweer]

Отсечките АВ = 4 и АС = 2 сключват ъгъл [tex]\angle[/tex] ВАС = 120. Построени са полуокръжности с диаметри AB и AC , които лежат във вътрешността на ъгъл [tex]\angle[/tex] ВАС . В общата част на двете полуокръжности е вписана окръжност с радиус = r . Да се докаже че [tex]r \le \frac{3-\sqrt{7}}{2}[/tex] ... Нещо дори чартежа немога добре да го направя , тая тяхна общата част , какво геом . тяло е че да е вписана тая окръжност

[martin123456]

Нека [tex]O_i[/tex] са центровете на полуокръжностите, като тази при [tex]AB[/tex] е [tex]O_1[/tex]. Нека [tex]I[/tex] е центърът на малката окръжност. Имаме 2 случая: или точките [tex]O_1,I,O_2[/tex] са на една права в този ред или [tex]\exist \Delta O_1IO_2[/tex]. Като обеденим двата случая [tex]O_1O_2 \leq O_1I+O_2I[/tex](1). от косинуосва т-ма за [tex]\Delta O_1AO_2[/tex]=>[tex]O_1O_2=\sqrt{7}[/tex]. тъй като [tex]O_1,I[/tex] и допирната точка на малката окръжност с тази с център [tex]O_1[/tex] лежат на 1 права => [tex]IO_1=2-r[/tex], където [tex]r[/tex] е радиусът на малката октъжност. аналогично намираме [tex]IO_2=1-r[/tex]. сега заместваме в (1)=>[tex]\sqrt{7} \leq 3-2r[/tex], т.е. неравенството.