Докажете ,че

[Евва]

Нека [tex]b_{n }[/tex] и [tex]b_{2n }[/tex] са дължините на страните на правилния n-ъгълник и правилния 2n-ъгълник ,
описани около окръжност с радиус r .

Докажете ,че [tex]b_{n }[/tex]=[tex]\frac{8r^{2}b_{2n }}{4r^{2}-b_{2n }^{2}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]b_n/2r=tg\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{2}n}[/tex]
Съвсем по същия начин
[tex]\frac{b_{2n}}{2r}=tg\frac{\pi}{2n}[/tex]
И сега свързваме двете чрез тангенса на ъгъла - с формулата [tex]tg2\varphi=\frac{2tg\varphi}{1-tg^2\varphi}[/tex]
т.е.
[tex]tg\frac{\pi}{n}=\frac{2tg\frac{\pi}{2n}}{1-tg^2\left ( \frac{\pi}{2n} \right )}[/tex]

Следователно [tex]\frac {b_{n}}{2r}=\frac{\frac{\cancel{2}.b_{2n}}{\cancel{2}r}}{1-\left (\frac{b_{2n}}{2r} \right )^2}[/tex]
и опростяваме.

Описан правилен многоъгълник.png (4.72 KiB) Прегледано 688 пъти