НАМЕРЕТЕ ЪГЪЛ AJC

[Стоянов]

Нека O и J са центровете съответно на описаната и вписаната окръжност на триъгълник ABC .Ако ъгъл AOC е равен на 60 градуса то намерете ъгъл AJC.

[Добромир Глухаров]

$\angle ABC=30^\circ$ (Защо?) $\angle JAC+\angle JCA=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ\Rightarrow\angle AJC=180^\circ-75^\circ=105^\circ$

[S.B.]

Без заглавие (70).png (300.01 KiB) Прегледано 1066 пъти

Нека O и J са центровете съответно на описаната и вписаната окръжност на триъгълник ABC .Ако ъгъл AOC е равен на 60 градуса то намерете ъгъл AJC.

[tex]\angle AOC = 60^\circ[/tex] ,централен $\Rightarrow $ д.$AC = 60^\circ \Rightarrow \angle ABC = \frac{д.AC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$ ((като вписан ъгъл)
За $\triangle ABC \rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Leftrightarrow \angle A + \angle C + 30^\circ = 180^\circ \Leftrightarrow \angle A + \angle C = 150^\circ$
$\angle A + \angle C = 150^\circ \Rightarrow \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 75^\circ$
$J$ е център на вписаната окръжност $\Rightarrow AJ $ и $CJ$ са ъглополовящи и $\angle JAC = \frac{\angle A}{2} , \angle JCA = \frac{\angle C}{2}$
За $\triangle AJC \rightarrow \angle JAC + \angle JCA + \angle AJC = 180^\circ \Leftrightarrow \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} + \angle AJC = 180^\circ \Leftrightarrow 75^\circ + \angle AJC = 180^\circ \Rightarrow$ $$\angle AJC = 105^\circ$$

[S.B.]

$\angle ABC=30^\circ$ (Защо?) $\angle JAC+\angle JCA=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ\Rightarrow\angle AJC=180^\circ-75^\circ=105^\circ$

Я, писали сме почти заедно!