Допирателни в окръжности

[TedyTod]

Окръжности те k1(O1;r1) и k2(O2;r2) се допират външно в точка C. Тяхната обща външна допирателна се допира k1 и k2 съответно в точките A и B. Ако AB пресича общата вътрешна допирателна на k1 и k2 в точка M, докажете, че [tex]\angle[/tex]O1MO2=90[tex]^\circ[/tex].

[Knowledge Greedy]

От дадена точка допирателните към дадена окръжност са равни. (Точката е външна за окръжността)
От точката [tex]M[/tex] допирателните към [tex]k_1[/tex] са равни [tex]MA=MC \,\ \Rightarrow \,\ \triangle O_1CM\cong \triangle O_1AM[/tex] правоъгълни.
От точката [tex]M[/tex] допирателните към [tex]k_2[/tex] са равни [tex]MB=MC \,\ \Rightarrow \,\ \triangle O_2CM\cong \triangle O_2BM[/tex] правоъгълни.
Ясно е сега, че ъгълът [tex]\angle O_1MO_2=\frac{1}{2} =\frac{1}{2}\angle AMB=\frac{1}{2}.180^\circ =90^\circ[/tex]