Докажете

[darsov2]

BF=2a
AF=AB=R
DE=r
Докажете
[tex]\frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}\\[/tex]

[Knowledge Greedy]

Означаваме ъгъла на сектора с [tex]2\alpha[/tex]

Вписана в сектор.png (13.21 KiB) Прегледано 706 пъти

От правоъгълния [tex]\triangle DAT[/tex] по определението [tex]\frac{r}{R-r}=sin\alpha[/tex] ([tex]\ast[/tex])

По синусова теорема хордата [tex]BF=2a[/tex] е срещу вписан ъгъл в окръжност с радиус [tex]R[/tex],
следователно [tex]\frac{2a}{2R}=sin\alpha[/tex] ([tex]\ast \ast[/tex])

Изключваме [tex]sin \alpha[/tex] от системата [tex]\begin{array}{|l} (\ast) \\ (\ast \ast) \end{array}[/tex]
и получаваме [tex]\frac{r}{R-r}=\frac{a}{R}[/tex],
което е равносилно на това, което трябваше да докажем.

[KOPMOPAH]

Окръжност в сектор.png (13.27 KiB) Прегледано 706 пъти

Отбелязваме $\measuredangle EAF$ с $\varphi$. Тогава:$$\triangle ADC \rightarrow \frac r{R-r}=\sin \varphi,~\triangle AGF \rightarrow \frac aR=\sin \varphi$$ $$ \frac r{R-r}=\frac aR \Rightarrow \frac {R-r}r=\frac Ra$$ $$\frac Rr-1=\frac Ra |:R \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac 1r-\frac 1R=\frac 1a \Rightarrow {\color{blue}\boxed{{\color{black} \frac 1r=\frac 1R+\frac 1a }}}$$

Скрит текст: покажи

Задачката е приятна, но по-интересното е построението