Вписан триъгълник и медицентър

[Гост]

Дадена е окръжност [tex]K(O;R)[/tex]. В нея е вписан триъгълник [tex]ABC[/tex] със страна [tex]АВ = 21 см[/tex].
През медицентъра на триъгълника е построена хорда [tex]МN[/tex] успоредна на [tex]АВ[/tex]. [tex]MN\cap AC =P[/tex] и [tex]MN\cap BC = Q[/tex]. Знае се, че MP = 11 см, а QN = 8 см. Да се намерят другите две страни на триъгълника. Та аз намерих два подобни триъгълници [tex]\triangle ABC\approx\triangle PQC[/tex], като от свойството на медицентъра изразих, че[tex]PQ = \frac{2}{3}AB = 14 см[/tex] . Ако някой има идеи за довършване на задачата ще съм благодарен да пише!

[Davids]

Какво е взаимното положение на точките $M, N, P, Q$ върху правата $MN$? Ако не е дадено, можем да разглеждаме случаи.

[Гост]

Извинявай за тъпия въпрос ама имаш в предвид как са подредени точките на чертежа или ... защото ако е това най отляво като част от окръжността е М после е Р като част от АС после е Q като част от ВС и най накрая е N като част от окръжността

[Гост]

Ти снимки можеш ли да правиш?

[Гост]

Мога, да но въпреки че са в jpg формат като се пробвам да ги прикача ми пише, че изображението е невалидно.

[Евва]

Нека т.[tex]С_{1 }[/tex] е среда на страната АВ .
Правилно си пресметнал/а ,че PQ=14 см.

[tex]\triangle[/tex]A[tex]C_{1 }[/tex]C[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]PGC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AC}{PC}[/tex]=[tex]\frac{CC_{1 }}{CG}[/tex] т.е. [tex]\frac{АС}{РС}[/tex]=[tex]\frac{СС_{1 }}{\frac{2СС_{1 }}{3}}[/tex] ;[tex]\frac{АС}{РС}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex]

Това означава ,че АС=3х (см.) ,РС=2х (см.) [tex]\Rightarrow[/tex] АР=х (см.)
По същия начин определяме BQ=y ,CQ=2y .

От формула за пресичащи се хорди (АС и MN) получаваме уравнението AP.CP=MP.NP
х.2х=11(14+8) ; х=11 см.[tex]\Rightarrow[/tex] АС=33 см.

От формула за пресичащи се хорди (ВС и MN) получи уравнение спрямо-у .
Аз получих у=10 см.[tex]\Rightarrow[/tex] ВС=30 см.