Да се докаже че израза не зависи от положението на точката

[Гост]

Здравейте! Подобни задачи винаги са ме тормозили и се надявам са успеете да ми помогнете. Дадена е окръжност К и хорда МN = а. Друга хорда ВС пресича МN в точка D. Да се докаже, че ако А е средата на МN, то стойността на израза y = AD^2 + BD.CD не зависи от положението на D върху МN. Задачата трябва да се реши със знания до 9 клас.

[Nathi123]

[tex]MN\cap BC=D\Rightarrow MD.ND=BD.CD[/tex] .Нека AD=x ,тогава [tex]MD=AD+MA=x+\frac{a}{2}; ND=AN-AD=\frac{a}{2}-x\Rightarrow AD^{2}+BD.CD=x^{2}+(\frac{a}{2}-x)(\frac{a}{2}+x)=x^{2}+\frac{a^{2}}{4}-x^{2}=\frac{a^{2}}{4}[/tex] - т.е не зависи от положението на точка D!