Триъгълник с вписана и външновписана окръжност

[Гост]

Дадена е окръжност с радиус 3 см и център О, вписана в триъгълник АВС, като се допира до страната ВС в точка D. Построена е външновписана окръжност с радиус 4 см с център О1, като се допира до ВС в точка Е. Да се намери ED, ако [tex]\angle ВСА = 120^\circ[/tex]. Намерих, че [tex]\angle ОВО1 = \angle ОСО1 = 90^\circ[/tex]. В триъгълник ЕО1С: [tex]\angle ЕСО1 = 30^\circ \Rightarrow О1С = 2ЕО1 = 8 см[/tex]. И дотам...

[S.B.]

Дадена е окръжност с радиус 3 см и център О, вписана в триъгълник АВС, като се допира до страната ВС в точка D. Построена е външновписана окръжност с радиус 4 см с център О1, като се допира до ВС в точка Е. Да се намери ED, ако [tex]\angle ВСА = 120^\circ[/tex]. Намерих, че [tex]\angle ОВО1 = \angle ОСО1 = 90^\circ[/tex]. В триъгълник ЕО1С: [tex]\angle ЕСО1 = 30^\circ \Rightarrow О1С = 2ЕО1 = 8 см[/tex]. И дотам...

Без заглавие - 2020-08-14T221126.589.png (214.16 KiB) Прегледано 734 пъти

За [tex]\triangle OCD :[/tex]
$OC $ е ъглополовяща на $\angle ACB = 120^\circ$
$OD\bot BC ,OD = r = 3,\angle OCD = \alpha = 60^\circ \Rightarrow \angle COD = 30^\circ$
$CD = x , OC = 2x $ По Питагор $\rightarrow 4x^{2} = x^{2} + 9 \Leftrightarrow 3x^{2} = 9 \Rightarrow x = \sqrt{3}$
Или $CD = \sqrt{3}$

За $\triangle ECO_{1 }:$
$O_{1 }E \bot BC, O_{1 }E = r=4$
$\angle \beta = \angle ECO_{1 } = 30^\circ$ ($CO_{1 }$ е ъглополовяща на съседния ъгъл на $\angle ACB = 120^\circ$)
$O_{1 }E = 4 \Rightarrow CO_{1 } = 8 $ по Питагор $CE = 4\sqrt{3}$
$DE = CE - CD \Leftrightarrow DE = 4\sqrt{3} - \sqrt{3} \Rightarrow DE = 3\sqrt{3}$