3 допирателни

[Гост]

Дадена е окръжност с диаметър АВ. t1 е допирателна през точка А, t2 през В и t3 през произволна точка М върху окръжността. t3 пресича t1 в точка D, а t2 в точка С. АС пресича BD в точка Р. Да се докаже, че:
А) МР е успоредна на АD
Б) произведението МD×MC не зависи от положението на точка М върху окръжността
По подточка А): Доказвам, че t1 е успоредна на t2 и от това доказвам, че [tex]\frac{АР}{РС}= \frac{MD}{MC}[/tex]. Това достатъчно ли е по обратната теорема на талес, че МР е успоредна на АD.
Б): AD = MD и MC = MB (външни допирателни)
[tex]\Rightarrow МС×МD = AD×BC[/tex]. Та въпросът ми за тази подточка е това ли само трябва да направя? Благодаря предварително!

[Гост]

Извинявам се за техническата грешка отношението е [tex]\frac{AP}{PC} = \frac{PD}{PB} = \frac{AD}{BC}[/tex]. И тъй като AD = MD и MC = BC (външни допирателни) [tex]\Rightarrow \frac{MD}{MC}= \frac{AP}{PC}[/tex] и от това би трябвало да следва от обратната теорема на талес че MP е успоредна на AD!
.

[S.B.]

Дадена е окръжност с диаметър АВ. t1 е допирателна през точка А, t2 през В и t3 през произволна точка М върху окръжността. t3 пресича t1 в точка D, а t2 в точка С. АС пресича BD в точка Р. Да се докаже, че:
А) МР е успоредна на АD
Б) произведението МD×MC не зависи от положението на точка М върху окръжността
По подточка А): Доказвам, че t1 е успоредна на t2 и от това доказвам, че [tex]\frac{АР}{РС}= \frac{MD}{MC}[/tex]. Това достатъчно ли е по обратната теорема на талес, че МР е успоредна на АD.
Б): AD = MD и MC = MB (външни допирателни)
[tex]\Rightarrow МС×МD = AD×BC[/tex]. Та въпросът ми за тази подточка е това ли само трябва да направя? Благодаря предварително!

Без заглавие - 2020-08-19T112806.946.png (400.78 KiB) Прегледано 751 пъти

$t_{1 }\bot AB , t_{2 }\bot AB \Rightarrow t_{1 } || t_{ }$
А)
Теорема 2 на Талес:
Ако точките $A_{1 },A_{2 }$ от рамото $\vec{p}$ и точките $B_{1 } ,B_{2 }$ от рамото $\vec{q}$ на един ъгъл с връх $O$ са такива,че $$\frac{OA_{1 }}{OA_{2 }} = \frac{OB_{1 }}{OB_{2 }}$$
то правите $A_{1 }B_{1 } $ и $A_{2 }B_{2 } $ са успоредни

За да докажем ,че $PM||AD$ ще трябва да докажем ,че [tex]\frac{CM}{CD} = \frac{CP}{CA}[/tex]
$\triangle ADP\approx \triangle CBP \Rightarrow \frac{AP}{CP} = \frac{DP}{PB} = \frac{AD}{CB}$
$AD = DM , CB = CM$ (като допирателни от външна точка)
Тогава се получава $\frac{AP}{CP} = \frac{DM}{MC}$
$\frac{AP}{PC} + 1 = \frac{DM}{MC} + 1 \Rightarrow \frac{AP + PC}{PC} = \frac{DM + MC}{MC} \Leftrightarrow \frac{CA}{CP} = \frac{CD}{CM} \Leftrightarrow \frac{CP}{CA} = \frac{CM}{CD} \Rightarrow PM|| AD$

Б)
$CO$ и $DO$ са ъглополовящи на ъглите $\angle DCB$ и $ \angle ADC$ , чийто сбор винаги е $180^\circ$ ,защото са вътрешни прилежащи ъгли получени при пресичане на две успоредни прави с трета ,тогава $\triangle COD$ е правоъгълен и $OM\bot CD ,OM = r$
$ OM^{2} = CM.MD \Rightarrow CM.MD = r^{2}$ (т.$M$ си мени местоположението върху окръжността ,но $OM = r$ винаги)
Това се вижда на чертежа - зеления и виолетовия триъгълник : $CM.MD = r^{2} = const$