Окръжност и триъгълник

[Гост]

Дадена е окръжност с вписан триъгълник АВС като АС = [tex]2\sqrt{3}[/tex]. Разстоянието от центъра на описаната окръжност (О) до АС е 1 ([tex]АС\bot OM[/tex])като М е част от АС. Да се намери ъгъл АВС? Отговорите са 60 или 120 градуса. ОМ е симетрала на АС от което следва че М е среда на АС следователно МС = [tex]\sqrt{3}[/tex]. Построявам СО и разглеждам триъгълник СОМ тангенсът на ъгъл МОС е [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] следователно този ъгъл е 30 градуса и така този триъгълник е 30 60 90. BO = CO значи триъгълник ВОС е равнобедрен и BO съвпада с ъглополовящата на ъгъл АВС значи ъгъл АВС е 60 градуса. Та въпросът ми към вас е как този ъгъл може да бъде 120 градуса?

[Гост]

Извинявам се, допуснал съм грешка ВО не съвпада с ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]АВС защото това е описана окръжност. Разглеждам [tex]\triangle[/tex] АМО който пак е 30 60 90 и [tex]\angle[/tex] АОМ е 60[tex]^\circ[/tex]. И [tex]\angle[/tex] АОС е 120 [tex]^\circ[/tex] следователно [tex]\angle[/tex] АВС е равен на половината от дъгата АС тоест 60[tex]^\circ[/tex]

[Davids]

Разгледал си само единия случай, в който центърът на описаната окръжност е вътрешна точка за триъгълника. Има и втори сценарий, в който центърът е външна точка за триъгълника. Сметките по ъглите са същите, само че тогава $\angle MOC = 60^\circ = \frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (дъгата, включваща точката $B$) $\Rightarrow \widehat{ABC} = 120^\circ$ и тогава $\angle ABC = \frac{1}{2}(360 - 120) = 120^{\circ}$.