Две външно допиращи се окръжностти

[Гост]

Дадени са две външно допиращи се окръжностти (К1 и К2 с центрове О1 и О2 и радиуси R и r), като общата им допирателна (t1; t1[tex]\cap[/tex]K1 = A, t1[tex]\cap[/tex] K2 = B )образува с централата им (O1O2)[tex]\angle \alpha[/tex]. Да се намери отношението между двата радиуса? Отговорът е [tex]\frac{1 + sin\alpha}{1 - sin\alpha}[/tex]. Та аз продължих допирателната до пресечната й точка с продължението на централата им като избрах пресечната им точка да е С. Доказах че О1А е успоредна на О2В от което следва по талес, че [tex]\frac{АС}{ВС} = \frac{О1С}{О2С} = \frac{О1А = R}{O2B = r}[/tex]. После разгледах правоъгълните триъгълници О1АС и О2ВС като [tex]sin\alpha = \frac{AC}{O1C} = \frac{BC}{O2C}[/tex]. И после се омотах ....

[Davids]

Предполагам, че имаш чертеж. Карам го директно:
По Талес имаме:
$\frac{R}{r} = \frac{O_1C}{O_2C} = \frac{R + r + O_2C}{O_2C} = 1 + \frac{R + r}{O_2C}$

По дефиниция на синус имаме: $sin\alpha = \frac{r}{O_2C} \Rightarrow O_2C = \frac{r}{sin\alpha}$

Заместваме и получаваме:
$\frac{R}{r} = 1 + \frac{(R+r)sin\alpha}{r} = 1 + sin\alpha + \frac{R}{r}sin\alpha$
$\Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{1 + sin\alpha}{1-sin\alpha}$

С това май сме готови