Търсим дължина на ОР

[Гост]

Отсечките AC=6 и BC=8 са хорди на окръжност с център О и диаметър AB. Втората окръжност с център P, който лежи на AB, се допира до хордите BC и AC. Длъжината на отсечката ОР?

[S.B.]

Отсечките AC=6 и BC=8 са хорди на окръжност с център О и диаметър AB. Втората окръжност с център P, който лежи на AB, се допира до хордите BC и AC. Длъжината на отсечката ОР?

Без заглавие - 2021-04-19T165417.620.png (257.66 KiB) Прегледано 595 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен,защото $AB$ е диаметър.От $AC = 6, BC = 8 $ според Питагор получаваме $AB = 10$
От условието,че новата окръжност се допира до $AC$ и $BC$ следва,че центърът и т.$P$ лежи на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex]
От условието,че [tex]P \in AB \Rightarrow P[/tex] е пресечна точка на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и диаметъра $AB$
От свойството на ъглополовящата [tex]\Rightarrow \frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BC } \Leftrightarrow \frac{AP}{BP} = \frac{6}{8}[/tex]
[tex]P \in AB , AB = 10 \Rightarrow AP +PB = 10[/tex]
От системата [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{AP}{BP} = \frac{6}{8} \\ AP + BP = 10 \end{array}[/tex] се получава [tex]BP = \frac{40}{7}[/tex]
[tex]AB = 10 \Rightarrow BO = 5 ,BO + OP = BP \Leftrightarrow 5 + OP = \frac{40}{7} \Rightarrow OP = \frac{40}{7} - 5[/tex]
[tex]\Rightarrow OP = \frac{5}{7}[/tex]