Окръжност с център О

[Гост]

Окръжност с център О и радиус r е вписан в равностранен ABC. Да се намери дължината на страната на триъгълника, ако r=3корен от 3 см

[ammornil]

В равностранния триъгълник центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на височините. Понеже височините са и медиани, и ъглополовящи, центърът на вписаната окръцност е и медицентър, следователно разделя всяка височина в съотношение 2:1 считано от върха към петата на медианата. Следователно височината на равностранния триъгълник е три пъти радиуса на вписаната окръжност.Петите на медианите са и среди на съответните страни.
[tex]CC_1 = 3r, AC=x, AC_1=\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\triangle AC_{1}C-правоъгълен \Rightarrow AC_{1}^{2} + CC_{1}^{2} = AC^{2} \Rightarrow (\frac{x}{2})^{2}+(3r)^{2}=x^{2} \Rightarrow x^{2}+4.(9r^{2})=4x^{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow 3x^{2}=36r^{2} \Rightarrow x^{2}=12r^{2} \Rightarrow x = r.\sqrt{12} \Rightarrow x=3\sqrt{3}\sqrt{12} \Rightarrow x=3\sqrt{36}=3.6=18cm[/tex]

[tex][/tex]