Взаимно перпендикулярни радиуси

[Гост]

В окръжност [tex]K(O;R)[/tex] са построени перпендикулярните радиуси OA и OB. През върха А на [tex]\triangle AOB[/tex] и центъра М на вписаната в него окръжност е прекарана хорда AA1 в окръжността К. Да се намери отношението [tex]\frac{AM}{A A_{1 } }[/tex]? Зацепих още в началото и не мога да я реша.

[Гост]

AA1.PNG (50.31 KiB) Прегледано 1602 пъти

[Евва]

Изразих АМ чрез R , изразих А[tex]А_{1 }[/tex] чрез R .
Получих [tex]\sqrt{2}[/tex]-1 . Това ли е отговора ?

[KOPMOPAH]

AM_MA1.png (12.63 KiB) Прегледано 1572 пъти

Винаги съм казвал и считал, че добре направеният чертеж е наполовина решена задача. Поради това не одобрявам решенията, които не са придружени с чертеж и винаги се старая да онагледя решението си.

Мисля, че няма нужда от много писане, защото всичко става ясно от чертежа. И все пак:

$\circ AB=R\sqrt 2$, защото $\triangle AOB$ е равнобедрен правоъгълен триъгълник;
$\circ$ Ясно е защо ъглите са по толкова - $AM$ и $BM$ са ъглополовящи на ъглите по $45^\circ$;
$\circ$ $\triangle MA_1B$ също е равнобедрен правоъгълен триъгълник;
$\circ$ $AM=MB=BA_1$, $MA_1=\sqrt 2BA_1$, $AA_1=AM+MA_1$ $\Rightarrow \frac{AM}{AA_1}=\frac {AM}{AM(1+\sqrt 2)}=\frac 1{1+\sqrt 2}=\sqrt 2 -1$, което е получила и Евва