Хорди и триъгълник

[Гост]

Върху диаметъра MN на окръжността k е взета точка T и през нея е прекарана хорда PQ. Ако [tex]\angle MNP = 60 ^\circ[/tex] [tex]\angle NPT=73^\circ[/tex] и PT=3cm, то намерете диаметъра на k.

[S.B.]

Върху диаметъра MN на окръжността k е взета точка T и през нея е прекарана хорда PQ. Ако [tex]\angle MNP = 60 ^\circ[/tex] [tex]\angle NPT=73^\circ[/tex] и PT=3cm, то намерете диаметъра на k.

Без заглавие - 2021-07-20T093225.228.png (243.01 KiB) Прегледано 1553 пъти

От $MN$ - диаметър и т.[tex]P \in \overset{\displaystyle\frown}{MN} \Rightarrow \triangle MPN[/tex] е правоъгълен,[tex]\angle MNP = 60 ^\circ \Rightarrow NP = R , MP= R \sqrt{3}[/tex]
Построявам [tex]CH \bot MN[/tex]
От [tex]\triangle MHP \rightarrow PH = \frac{MP}{2} \Rightarrow PH = \frac{R \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]\angle NPT = 73 ^\circ \Rightarrow \angle MPT = 17 ^\circ[/tex]
[tex]\angle PTH = 47 ^\circ[/tex] (като външен ъгъл за [tex]\triangle MTP[/tex])
От правоъгълния [tex]\triangle THP \rightarrow\displaystyle \frac{HP}{PT} = \sin \angle PTH \Leftrightarrow \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{R \sqrt{3} }{2} }{3} = \sin 47 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \sin 47 ^\circ = \frac{R \sqrt{3} }{6}[/tex]

От[tex]\begin{cases} \sin 47 ^\circ = \displaystyle \frac{R \sqrt{3} }{6} \\\sin 47 ^\circ = 0,7314\end{cases} \rightarrow \displaystyle \frac{R \sqrt{3} }{6} = 0,7314 \Rightarrow R = \displaystyle\frac{6.0,7314}{ \sqrt{3} } = \displaystyle \frac{6.0,7314 \sqrt{3} }{3} = 1,4628. \sqrt{3}[/tex]

[tex]\Rightarrow R= 1,4628.1,7320508 = 2,5336439[/tex]

$$\Rightarrow MN = 2R = 5,0672878 \approx 5,07$$

Скрит текст: покажи

Малко "дърварско" решение,но каквато е задачата,такова е и решението...

[Меди]

Не съм чел решението на S.B., но отговорите ни са едни и същи. Свържи центъра на окръжността с точка $P$. Триъгълник $OPN$ е равностранен, защото е равнобедрен с ъгъл от $60^\circ$. Това прави отсечката $PN$ равна на радиуса на окръжността $R$. От сбора на вътрешните ъгли в триъгълник получаваме, че $\measuredangle PTN=47^\circ$ и една синусова теорема за $\triangle NPT$ решава задачата $$\dfrac{3}{\sin60^\circ}=\dfrac{R}{\sin47^\circ}\Rightarrow R=\dfrac{3\sin47^\circ}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\sin47^\circ$$ Диаметърът $MN=2R=4\sqrt{3}\sin47^\circ$. Според мен дотук решението е достатъчно.

[S.B.]

Аз си направих труда да прочета твоето решение,Меди.Разликата е в това,че аз използвам свойствата на правоъгълен триъгълник с ъгъл[tex]30 ^\circ[/tex], а ти -Синусова теорема.
Довършила съм задачата,като съм заместила в отговора стойността на [tex]\sin 47 ^\circ[/tex],защото ми се струва,че по този начин задачата придобива завършен вид.Ако беше [tex]\sin30 ^\circ[/tex] щеше да го заместиш с [tex]\frac{1}{2}[/tex], нали? Защо да не заместиш и [tex]\sin 47 ^\circ[/tex] със стойността му? Всеки има възможност да го направи.

Скрит текст: покажи

Един виц по този повод казва така:"Защо слона има хубот? - За да не започва случайно!А защо има опашка? За да не завършва изведнъж" Та така и с нашата задача започва с [tex]\angle 73 ^\circ[/tex] - не случайно! И завършва с [tex]\angle 47 ^\circ[/tex] - не изведнъж,а със стойността на [tex]\sin 47 ^\circ[/tex]!