Окръжност с перпендикулярни радиуси, хорда

[P.Ts04]

Успях да открия дължината на AM, но се затруднявам да намеря MA1 и да изведа отношението + че не съм сигурен дали AM съм я намерил вярно. Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Задачата е решена ТУК.

[S.B.]

Успях да открия дължината на AM, но се затруднявам да намеря MA1 и да изведа отношението + че не съм сигурен дали AM съм я намерил вярно. Благодаря предварително!

Без заглавие - 2021-08-31T101519.177.png (260.17 KiB) Прегледано 1460 пъти

И още един поглед върху задачата

За [tex]\triangle AOB \rightarrow AO = R , BO = R \Rightarrow AB = R \sqrt{2}[/tex]
Щом т.$M$ е център на вписаната в [tex]\triangle AOB[/tex] окръжност ,то т.$M$ е пресечна точка на ъглополовящите
[tex]\Rightarrow AM = BM = x , \angle AMB = 135 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle AMB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = x^{2 } + x^{2 } -2 x^{2 } \cos135 ^\circ \Leftrightarrow 2 R^{2 } = 2 x^{2 }(1 + \frac{ \sqrt{2} }{2}) \Rightarrow[/tex]
$$x = AM = R \sqrt{2 - \sqrt{2} }$$
$AC$ е диаметър и т.[tex]A_{1 } \in k[/tex] [tex]\Rightarrow \triangle AC A_{1 }[/tex] е правоъгълен триъгълник [tex]\Rightarrow \frac{A A_{1 } }{AC} = \cos \angle CA A_{1 } \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{A A_{1 } }{2R} = \cos \frac{45 ^\circ }{2}[/tex]
[tex]\cos^{2 } \displaystyle\frac{45 ^\circ }{2} =\displaystyle \frac{1 +\cos 45 ^\circ }{2}= \displaystyle\frac{1 + \displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2} = \displaystyle \frac{2 + \sqrt{2} }{4} \Rightarrow \cos \frac{45 ^\circ }{2} =\displaystyle \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]AA_{1 } = 2R \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} \Leftrightarrow[/tex]
$$ A A_{1 } = R \sqrt{2+ \sqrt{2} }$$
[tex]MA_{1 } = A A_{1 } - AM \Leftrightarrow M A_{1 } = R \sqrt{2 + \sqrt{2} } - R \sqrt{2 - \sqrt{2} } \Rightarrow[/tex]
$$ M A_{1 } = R( \sqrt{2+ \sqrt{2} } - \sqrt{2 - \sqrt{2} } )$$
Търсеното отношение :
[tex]\frac{AM}{MA_{1 } } = \frac{R \sqrt{2 - \sqrt{2} } }{R( \sqrt{2+ \sqrt{2} } - \sqrt{2- \sqrt{2} }) } = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } ( \sqrt{2+ \sqrt{2} } + \sqrt{2- \sqrt{2} } )}{2 + \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} }{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\frac{AM}{M A_{1 } } = \frac{ \sqrt{2} }{2} $$