Полукръг

[Гост]

Имам някакви разсъждения и си мисля, че се решава с преравняване, но не знам от къде да започна. Мислех си за косинусова теорема.

[S.B.]

Имам някакви разсъждения и си мисля, че се решава с преравняване, но не знам от къде да започна. Мислех си за косинусова теорема.

Без заглавие - 2021-09-04T231300.334.png (269.53 KiB) Прегледано 1621 пъти

[tex]P_{ABCD } = 5, AB = 2,AD = BC = x , CD = y \Rightarrow 2x + y = 3[/tex]
$AB$ е диаметър [tex]\Rightarrow \triangle ABC[/tex] е правоъгълен.
Нека [tex]\angle BAC = \alpha \Rightarrow \angle ABC = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
За [tex]\triangle ACD \rightarrow \angle ACD = \alpha , \angle DAC = 90 ^\circ - 2 \alpha[/tex]
За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AD}{\sin \angle DCA } = 2R \Leftrightarrow \frac{x}{\sin \alpha } = 2 \Rightarrow x = 2\sin \alpha[/tex]
[tex]\frac{CD}{\sin \angle DAC} = 2R \Leftrightarrow \frac{y}{\sin(90 ^\circ - 2 \alpha )} = 2 \Rightarrow y = 2\cos2 \alpha[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x + y = 3 \\ x = 2\sin \alpha \\y = 2\cos2 \alpha \end{array} \Rightarrow 4\sin \alpha + 2\cos2 \alpha = 3[/tex]

[tex]\sin^{2 } \alpha = \frac{1 - \cos2 \alpha }{2} \Rightarrow \cos2 \alpha = 1 - 2 sin^{2 } \alpha[/tex]
[tex]4\sin \alpha + 2\cos2 \alpha = 3 \Leftrightarrow 4\sin \alpha +2(1 - 2 \sin^{2 } \alpha) = 3 \Leftrightarrow 4\sin \alpha + 2 - 4 \sin^{2 } \alpha - 3 = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]4 \sin^{2 } \alpha -4\sin \alpha + 1 =0 \Leftrightarrow (2\sin \alpha - 1)^{2 } = 0 \Leftrightarrow 2\sin \alpha = 1 \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30 ^\circ[/tex]
Тогава [tex]AD = BC = x = 2\sin30 ^\circ = 1,CD = y = 3 - 2x = 1[/tex]
От [tex]\triangle BHC \rightarrow \frac{HC}{BC}= \sin(90 ^\circ - \alpha ) \Leftrightarrow HC = 1.\sin60 ^\circ \Rightarrow HC = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.CH \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{2 + 1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S_{ABCD } = \frac{3 \sqrt{3} }{4}[/tex]

[Евва]

Означих AD=BC=x ,CD=3-2x .
ABCD е вписан в окръжност , значи имаме право да използваме теоремата на Птоломей ( Учили ли сте я ? ) .
[tex]d_{1 }[/tex].[tex]d_{2 }[/tex]=ac+bd
Според нашия чертеж AC.BD=AB.CD+AD.BC
[tex]АС^{2 }[/tex]=2(3-2х)+[tex]x^{2 }[/tex]
4-[tex]x^{2 }[/tex]=6-4х+[tex]x^{2 }[/tex] |:2[tex]\ne[/tex]0

[tex](x-1)^{2 }[/tex]=0 [tex]\Rightarrow[/tex] x=1
AD=BC=x=1 , CD=3-2x=1

Скрит текст: покажи

Това значи ,че трапецът се състои от три еднакви равностранни тр-ка .

[tex]S_{ABCD }[/tex]=3.[tex]S_{AOD }[/tex]=3.[tex]\frac{ 1^{2 } \sqrt{3} }{4}[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{4}[/tex]

[Какаши Сенсей]

Означих AD=BC=x ,CD=3-2x .
ABCD е вписан в окръжност , значи имаме право да използваме теоремата на Птоломей ( Учили ли сте я ? ) .
[tex]d_{1 }[/tex].[tex]d_{2 }[/tex]=ac+bd
Според нашия чертеж AC.BD=AB.CD+AD.BC
[tex]АС^{2 }[/tex]=2(3-2х)+[tex]x^{2 }[/tex]
4-[tex]x^{2 }[/tex]=6-4х+[tex]x^{2 }[/tex] |:2[tex]\ne[/tex]0

[tex](x-1)^{2 }[/tex]=0 [tex]\Rightarrow[/tex] x=1
AD=BC=x=1 , CD=3-2x=1

Скрит текст: покажи

Това значи ,че трапецът се състои от три еднакви равностранни тр-ка .

[tex]S_{ABCD }[/tex]=3.[tex]S_{AOD }[/tex]=3.[tex]\frac{ 1^{2 } \sqrt{3} }{4}[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{4}[/tex]

Много добро и кратко решение! Моите поздравления!