Вън и вътре вписана окр. в триъгълник

[ismarti]

Задачата пак е от "Матура за отлилен".
На чертежа M и N са допирните точки на страната AB съответно с външно и вътрешно вписаната окръжност на ABC. Ако BC=6 и AC=8, то дължината на отсечката MN е?
Отг.2 cm

zadacha.jpg (26.18 KiB) Прегледано 772 пъти

Само с това, което ми е дадено, не мога да реша задачата. Явно пак нещо изпускам...

[ganka simeonova]

Лош чертеж
След малко, ако никой не е писал ще ти пусна решение с чертеж ")

[ismarti]

Лош чертеж
След малко, ако никой не е писал ще ти пусна решение с чертеж ")

Амиии, да. М е допирателна на външната, а N на вътрешната.

[ganka simeonova]

Така. За всеки триъгълник дължината на допирателната към външновписаната му окр е равна на полупериметъра, т.е.
[tex]CF=p[/tex] ( Опитай се да го докажеш. ако не можеш, казвай. Това си е ОЗ от 8 клас)
Тогава: [tex]AM=AF=CF-AC=p-b[/tex]
[tex]AN=p-a[/tex]=>[tex]MN=AN-AM=p-a-(p-b)=b-a=8-6=2[/tex]

[ismarti]

Така. За всеки триъгълник дължината на допирателната към външновписаната му окр е равна на полупериметъра, т.е.
[tex]CF=p[/tex] ( Опитай се да го докажеш. ако не можеш, казвай. Това си е ОЗ от 8 клас)
Тогава: [tex]AM=AF=CF-AC=p-b[/tex]
[tex]AN=p-a[/tex]=>[tex]MN=AN-AM=p-a-(p-b)=b-a=8-6=2[/tex]

Да, това, че [tex]CF=p[/tex] не го знаех.... Ако може и да напишеш доказателството, много ще съм ти благодарен.
Брагодаря за решението на задачата

[ismarti]

Така. За всеки триъгълник дължината на допирателната към външновписаната му окр е равна на полупериметъра, т.е.
[tex]CF=p[/tex] ( Опитай се да го докажеш. ако не можеш, казвай. Това си е ОЗ от 8 клас)
Тогава: [tex]AM=AF=CF-AC=p-b[/tex]
[tex]AN=p-a[/tex]=>[tex]MN=AN-AM=p-a-(p-b)=b-a=8-6=2[/tex]

Ти на CaRMetal ли правиш чертежите? Много са ти сполучливи. Моят е меко казано неприятен

[ganka simeonova]

Нека пресечната точка на продължението на СВ с външновписаната окр. означим с Р.
Тогава следват равенства на допирателни отсечки:
[tex]CF=CP[/tex]
[tex]CF=CA+AF=CA+AM[/tex]
[tex]CP=CB+BP=CB+BM[/tex] Събираме почленно равенствата и получаваме;
[tex]CF+CP=CA+AM+CB+BM[/tex]
[tex]2CP=P_{ABC}[/tex]
[tex]CP=p[/tex]

[ganka simeonova]

Относно чертежа ти- чертал си на "око". Не си ползвал доколкото виждам опцията за построяване на ъглополовящи. Освенн това триъгълникът ти е почти равнобедрен и тогава М и N съвпадат

[ganka simeonova]

Относно чертежа ти- чертал си на "око". Не си ползвал доколкото виждам опцията за построяване на ъглополовящи. Освенн това триъгълникът ти е почти равнобедрен и тогава М и N съвпадат