Задача от 8ми клас

[Гост]

Центърът О на окръжност лежи на основата на равнобедрен триъгълник и се допира до бедрата му. Височината към основата на триъгълника е 6см. Колко е радиусът й?

[S.B.]

Центърът О на окръжност лежи на основата на равнобедрен триъгълник и се допира до бедрата му. Височината към основата на триъгълника е 6см. Колко е радиусът й?

Без заглавие - 2022-04-04T211628.543.png (206.02 KiB) Прегледано 1076 пъти

Окръжността се допира до бедрата на триъгълника [tex]\Rightarrow[/tex] центърът и лежи на ъглополовящата на ъгъла при върха,която е и височина в триъгълника [tex]\Rightarrow[/tex] центърът $O$ е пресечната точка на височината и основата на триъгълника :
[tex]CO \cap AB = O[/tex]
[tex]\triangle COB[/tex] е правоъгълен.Ако [tex]\angle OBC = \beta \Rightarrow \angle OCB = 90 ^\circ - \beta[/tex]
Окръжността се допира до бедрата на [tex]\triangle ABC \Rightarrow OT \bot BC , OK \bot AC[/tex] (радиуси)
[tex]\triangle OBT[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle OBT = \beta \Rightarrow \angle TOB = 90 ^\circ - \beta[/tex]
[tex]\triangle OTB \cong \triangle OTC[/tex] (правоъгълни ,имат обща страна и острите им ъгли са равни - втори признак) [tex]\Rightarrow OB = OC = 6[/tex]
За [tex]\triangle OBC[/tex] прилагам Питагорова теорема: (учили сте я в 6 клас)
[tex]BC^{2 } = OB^{2 } + OC^{2 } \Leftrightarrow BC^{2 } = 2. 6^{2 } \Rightarrow BC = 6 \sqrt{2}[/tex]
В равнобедрения правоъгълен [tex]\triangle OBC[/tex] имаме [tex]OT = BT = CT = 3 \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
$$r = OT = 3 \sqrt{2} $$