Разстояние м/у центъра на вписана окр. и медицентър

[baroveca]

Катетите на правоъгълен триъгълник АВС са 9 см и 15 см. Да се намери разстоянието м/у центъра на вписаната окръжност и медицентъра на триъгълника.

[L.e.o]

Нека си начертаем тригълника в Декартова координатна система:

От Питагорова Т. намираме ВС = 3 ?34 (колко хубаво щеше да е ако хипотенузата е 15, а не катета)
Радиуса на вписана в правоъг. триъгълник окръжност е : r = (a+b-c)/2 = (9+15+3?34)/2 = (24+3?34)/2

Координатите на точка А: А=(0,0)
Координатите на точна О: О = (r,r) (вече ги знаем)
Координатите на медицентъра: G = (x,y)
Ако знаем координатите на 2 точки то дъллжината на отсечката между тях е:
[tex]L = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}[/tex]
Следователно дължината на OG e:
[tex]OG = \sqrt{(x-r)^{2}+(y-r)^{2}}[/tex]

Сега да намерим х и у ...

sin b = AC/BC = 5/?34
BM = BC/2 = 3?34/2
AP = r + r?2 = r(1+?2) - изчисляваме го колко е
PM = BM - BP = BM - (AB-r) - изчисляваме го колко е
АМ^2 = РМ^2 + АР^2 - изчисляваме го колко е

Синусова Т. за тр. АВМ:
sin fi / BM = sin b / AM - изчисляваме sin fi .
От тук изчисляваме и cos fi.
G - медицентър => АG = 2/3 * AM - изчисляваме го колко е

x = AG. cos fi - изчисляваме го колко е
y = AG . sin fi - изчисляваме го колко е

Прощавай, че не ги изчислявам, но от физична гледна точка задачата е вече решена.

[baroveca]

Грешката е моя- катетите ка 9 и 12, откъдето следва,че хип. е 15

[L.e.o]

E-e-e ....
Както и да е. Решението е същото. Сам си направи изчисленията: АС=12, sinb = 3/5, и т.н...

[baroveca]

E-e-e ....
Както и да е. Решението е същото. Сам си направи изчисленията: АС=12 и т.н...

Това за точките на разбрах.. би ли го обяснила по-добре. какво е х1 х2 у1 у2?

[L.e.o]

Ако имаш декартовите координати на 2 точки:
А = (х1, у1) и В= (х2,у2), то веднага можеш да намериш дължината на отсечката АВ (формулата за L).
В твоята задача, 2те точки са О и G.
Kooрдинатите на О са (r,r), (където сме намерили, че r=3)
Тоест трябва да намерим координатите на точката G, които съм означил с х и у.
Намериш ли х и у, веднага прилагаш формулата и намираш дължината на OG.

[baroveca]

Ако имаш декартовите координати на 2 точки:
А = (х1, у1) и В= (х2,у2), то веднага можеш да намериш дължината на отсечката АВ (формулата за L).
В твоята задача, 2те точки са О и G.
Kooрдинатите на О са (r,r), (където сме намерили, че r=3)
Тоест трябва да намерим координатите на точката G, които съм означил с х и у.
Намериш ли х и у, веднага прилагаш формулата и намираш дължината на OG.

Тия декартови точки не съм ги учил и не знам за какво става въпрос...Защо координатите на А са (0,0)? и защо координатите на т.G са (x,y).Би ли обяснила кои части точно си означила с х и у?Нещо не мога да схвана този метод за решаване.

[L.e.o]

AY= y
AX = x
Координатине на А са (0,0) , защото там е началото на координатната система.

[ganka simeonova]

Лео, защо го занимаваш с координати? Иван е в 11 клас и няма понятие от АГ. Задачата си че чисто геометрична.

[prodanov]

Лео, защо го занимаваш с координати? Иван е в 11 клас и няма понятие от АГ. Задачата си че чисто геометрична.

Ми, г-жо, това с разстоянието между две точки съм го учил в 9ти клас по физика и аз тръгнах като Лео да я решавам, само че ми куца геометрията и не успях.

Разстояние между медицентър и център на вписана окръжност го мога само в равнобедрен триъгълник(щото лежат на една права), така че ако някой предостави друго решение, ще бъде още по-добре.

[L.e.o]

Игнорираме координатната система и координатите на точките и взимаме под внимание само алгебричното решение.

Разглеждаме триъгилника OPG.
OP = AX - r ( вече сме намерили АХ и r)
GP = AY - r ( вече сме намерили AY и r)
Прилагаме питагорова Т. и намираме OG.
Чрез координатната система и координатите просто си спестих построяването на този триъгълник.
Но дори и дазачата да изисква начални знания по ЛААГ, то както каза Проданов: всяка 2ра задача по Механика изисква построяването на координатна система, избиране на отправната и точка и начертаване на векторите на силите, а това се учи в 8-9 клас.

[prodanov]

OP = AX - r ( вече сме намерили АХ и r)
GP = AY - r ( вече сме намерили AY и r)

Leo, не разбрах тия двете как ги намери.

[L.e.o]

[prodanov]

Не си зададох въпроса правилно. Как ще представиш разстоянието като число ако не знаеш стойноста на OP и PG(не знаем стойноста на АY и AX) ?

[L.e.o]

AC = sqrt(AB^2 + BC^2) - изчисляваме го колко е
r = (AB+BC-CA)/2 - изчисляваме го колко е
sin b = AC/BC - изчисляваме го колко е
BM = BC/2 - изчисляваме го колко е
AP = r + r?2 = r(1+?2) - изчисляваме го колко е
PM = BM - BP = BM - (AB-r) - изчисляваме го колко е
АМ^2 = РМ^2 + АР^2 - изчисляваме го колко е

Синусова Т. за тр. АВМ:
sin fi / BM = sin b / AM - изчисляваме sin fi .
От тук изчисляваме и cos fi.
G - медицентър => АG = 2/3 * AM - изчисляваме го колко е
AX=x
AY=y
x = AG. cos fi - изчисляваме го колко е
y = AG . sin fi - изчисляваме го колко е

И сега вместо да прилагам АГ на тези отсечки/разтояния, си пускам перпендикуляри и прилагам Пит.Т на полученото триъгълниче OPG.

[loving_math]

Тази задача май успях да реша с косинусова теорема.
1.Намираш хипотенузата 15 см по Питагор.
2.Намираш дължината на медианата като 1/2 от хипотенузата, тоест 7,5 см
3. Намираш AG от отношението, в което медицентърът G дели медианата, тоест 2.7,5/3=5 cm
4.От формулата S=pr намираш радиуса на вписаната окръжност, 3 см е.
5.С Питагорова теорема намираш АО.
6.ABC=?,изразяваш GAO чрез ?
7. Косинусова теорема за тр.AOG, с която намираш търсената страна

[ganka simeonova]

Опитай се, да докажеш един хубав факт , важащ за всеки триъгълник:

[tex]IG^2=\frac{1}{9 } (p^2+5r^2-16Rr)[/tex]

[emvelikov]

И така, никой ли няма да даде решение на тази задача без координатната система?

[Xixibg]

Ако катетите са 9см.,12см. и хипотенузата е 15см. то отговора е 1см.

[blakianova]

Задачата за намиране разстоянието между медицентъра и центъра на вписаната окръжност е доста по лека, описвам алгоритъма:
Триъгълник АВС, < С=90 медицентър - G, център на описаната окръжност - О,
АС =8, ВС=6,
1. Нека катетите са 6 и 8 , по Т на Питагор, хипотенузата е 10, АВ = 10
2. Намираме r =( a+b-c)/ 2; r = 2
3. Знаем, че медицентъра G дели медианите в отношение2:1. Медианата към хипотенузата е 5(1/2 от нея)
4. СG =10/3
5. Построяваме ОР и ОК перпендикулярно на ВС, т.е. = r, тогава
СР = СК = ОР =ОК= r =2 ( ОРСК квадрат)
6. Остава да докажем, че разстоянието GЕ до АС = r =2, по този начин искаме да докажем, че точките G,O, и Р лежат на една права.
7. Нека медианата към ВС е AN, намираме я от правоъгълния триъгълник ANС по Питагоровата теорема, AC=8, NC=3 AN =Ѵ73 , следователно AG=2 Ѵ73:3



8. GE e перпендикулярна на АС, следва че т-к АGE е подобен на т-к ANС по І пр. следва АЕ:ЕС =3:1 (или от теоремата на Талес), следва че АЕ= 2. 8/3 = 16/3
9. Т-к АGE, Питагорова теорема АЕ= 16/3, AG=2 Ѵ73:3 следва GЕ= 2

Т.е. GЕ= 2 = РС = 2
10. Доказахме че G, О,Р лежат на една права перпендикулярна на ВС
11. Следователно Е GКО е правоъгълник ЕК = G О = АС – АЕ – КС
ЕК = G О=8 – 16/3 – 2 = 6 - 16/3 = 2/3