Вписан равнобедрен трапец

[Гост]

Трапец ABCD е вписан в окръжност k така ,че точка O(центърът на k) е външна за трапеца.диагоналът му BD e с дължина 4см,а бедрото ADe равно на радиуса на окръжността.
Намерете лицето на трапеца

[Евва]

Щом трапецът е вписан в окр. ,то той е равнобедрен ,тогава AC=BD=4 см. ; AD=BC=R .
Построяваме височините на трапеца CH и DE .
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?
Забелязваме ,че OB=OC=BC=R т.е. [tex]\triangle[/tex]ОВС е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВОС=60[tex]^\circ[/tex]
вписаният [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\frac{дъгата ВС}{2}[/tex]=[tex]\frac{централния \angleВОС }{2}[/tex]=[tex]\frac{60 ^\circ }{2}[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ВАС=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АНС е правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] СН=[tex]\frac{АС}{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{2}[/tex]= 2 см.
([tex]\triangle[/tex]АНС-правоъгълен) [tex]АН^{2 } + СН^{2 }= АС^{2 }[/tex]
[tex]АН^{2 }[/tex]+4=16 ;АН=2[tex]\sqrt{3}[/tex] см.
Да означим AB=a и CD=b .

AH=AE+EH
AH=[tex]\frac{a-b}{2}[/tex]+CD=[tex]\frac{a-b}{2}[/tex] +b=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex]
Вече сме намерили [tex]\frac{a+b}{2}[/tex]=AH =2[tex]\sqrt{3}[/tex] см.

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex] .CH=2[tex]\sqrt{3}[/tex].2=4[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]см.^{2 }[/tex]