Помощ за задача за окръжност 8 клас

[Гост]

През точка М, лежаща вън от дадена окръжност к(О), са построени допирателните МА А принадлежи на к и МВ ,В принадлежи на к и секуща, която пресича к в точките Р и Q. Точката Т е средата на отсечката PQ. Да се докаже, че TM e ъглополовящата на ъгъл АТ
Предварително благодаря!

[KOPMOPAH]

Помощ за задача за окръжност 8 клас.png (15.48 KiB) Прегледано 1105 пъти

Правата $a$ е симетрала на $PQ$, следователно минава през центъра $O$. Червените ъгли са прави, следователно точките $A$, $O$, $T$, $B$ и $M$ лежат на една окръжност. Жълтите ъгли са равни от еднаквостта на триъгълниците $\triangle OMA$ и $\triangle OMB$. На жълтите ъгли съответстват дъгите $\overset{\displaystyle{\frown}} {BM}$ и $\overset{\displaystyle{\frown}} {AM}$, следователно $\overset{\displaystyle\frown} {BM}=\overset{\displaystyle\frown} {AM}$. Но и на зелените ъгли съответстват същите дъги, следователно зелените ъгли също са равни, откъдето следва, че $MT$ е ъглополовяща на $\measuredangle ATB$.