Трудна задача за триъгълник и окръжности за 8 клас

[Гост]

Даден е триъгълник АВС. Точката Н е ортоцентър на триъгълника, а точката О - център на вписаната в триъгълника окръжност. Да се докаже, че ако:
< АСВ = 60, то точките А, В, О и Н лежат на една окръжност.

[Евва]

Височините AE и BF се пресичат в т.Н , [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] .
FHEC е четириъгълник [tex]\angle[/tex]CFH+[tex]\angle[/tex]FHE+[tex]\angle[/tex]HEC+[tex]\angle[/tex]ECF =360[tex]^\circ[/tex]
90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]FHE +90[tex]^\circ[/tex]+60[tex]^\circ[/tex]=360[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]FHE=120[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AHB=[tex]\angle[/tex]FHE =120[tex]^\circ[/tex] (1) (връхни ъгли)

[tex]\angle[/tex]AOB = ?
([tex]\triangle[/tex]ABO) [tex]\angle[/tex]AOB+[tex]\angle[/tex]OAB+[tex]\angle[/tex]ABO =180[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

АО и ВО са ъглополовящи .

[tex]\angle[/tex]AOB +[tex]\frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2}[/tex] =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AOB =180[tex]^\circ[/tex] - [tex]\frac{ \alpha + \beta }{2}[/tex] =[tex]\frac{180 ^\circ + [ 180 ^\circ -( \alpha+ \beta ) ]}{2}[/tex]= [tex]\frac{180 ^\circ+60 ^\circ }{2}[/tex] =120[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]АОВ=120[tex]^\circ[/tex] (2)

Описваме окр.[tex]К_{1 }[/tex] около [tex]\triangle[/tex]АНВ ; [tex]\angle[/tex]АНВ =120[tex]^\circ[/tex] се явява вписан в окр.[tex]К_{1 }[/tex]

Ако т.О е вътрешна за [tex]К_{1 }[/tex] ,то [tex]\angle[/tex]АОВ>120[tex]^\circ[/tex] .
Ако т.О е външна за [tex]К_{1 }[/tex] ,то [tex]\angle[/tex]АОВ<120[tex]^\circ[/tex] .
Ако т.О лежи някъде на окръжността [tex]К_{1 }[/tex] ,то [tex]\angle[/tex]АОВ=120[tex]^\circ[/tex] .

От полученото (2) [tex]\Rightarrow[/tex] т.О лежи на [tex]К_{1 }[/tex] .
Тогава точките A ,B ,O ,H лежат на една окръжност .

[S.B.]

Даден е триъгълник АВС. Точката Н е ортоцентър на триъгълника, а точката О - център на вписаната в триъгълника окръжност. Да се докаже, че ако:
< АСВ = 60, то точките А, В, О и Н лежат на една окръжност.

Без заглавие (28).png (261.07 KiB) Прегледано 1079 пъти

Още един поглед върху задачата :

т. $O$ е център на вписаната окръжност [tex]\Rightarrow AO , BO[/tex] са ъглополовящи съответно на [tex]\angle A , \angle B[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AOB = 90 ^\circ + \frac{1}{2} \angle C \Leftrightarrow \angle AOB = 90 ^\circ + 30 ^\circ = 120 ^\circ[/tex] (Знае се от 7 клас , основна задача за ъгъл между ъглополовящи)

[tex]AA_{1 } \bot BC , B B_{1 } \bot AC , A A_{1 } \cap B B_{1 } = H , \angle C = 60 ^\circ \Rightarrow[/tex] около [tex]A_{1 }H B_{1 }C[/tex] може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow \angle A_{1 }H B_{1 } = 180 ^\circ - 60 ^\circ = 120 ^\circ \Rightarrow \angle AHB = 120 ^\circ[/tex]
Тогава основата $AB$ се ВИЖДА под ъгъл [tex]120 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow A ,B ,O ,H[/tex] лежат на окръжността от която $AB$ се вижда под [tex]120 ^\circ[/tex]