описан трапец

[Гост]

Моля за помощ ,че не ме бива с доказателствата.
Докажете ,че ако в равнобедрен трапец може да се впише окръжност,то диаметърът и е средногеометричен на основите на трапеца.
Това трябвало с Питагорова теорема да се докаже.
Благодаря предварително!

[S.B.]

Моля за помощ ,че не ме бива с доказателствата.
Докажете ,че ако в равнобедрен трапец може да се впише окръжност,то диаметърът и е средногеометричен на основите на трапеца.
Това трябвало с Питагорова теорема да се докаже.
Благодаря предварително!

Без заглавие - 2024-01-28T104703.284.png (199.85 KiB) Прегледано 950 пъти

$AB = a , CD = c , О$ - център на вписаната окръжност
За да може да се впише окръжност в трапеца $ABCD$ трябва [tex]AD = BC = \frac{AB + CD}{2} = \frac{a + c}{2}= \frac{a}{2} + \frac{c}{2}[/tex]
$BO$ и $CO$ са ъглополовящи съответно на [tex]\angle B[/tex] и [tex]\angle A[/tex] (ЗАЩО?)
[tex]\angle B + \angle C = 180 ^\circ \Rightarrow \frac{ \angle B }{2} + \angle \frac{ \angle C}{2} = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle BOC[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle BOC = 90 ^\circ[/tex]
Нека т.$T$ е допирна точка на окръжността с бедрото $BC$,а т.$M$ и $N$ съответно с основите на трапеца.
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност [tex]\rightarrow BM = BT , CN = CT \Rightarrow BT = \frac{a}{2} ,CT = \frac{c}{2}[/tex]
[tex]OT = r , OT \bot BC[/tex]
От метричните свойства в правоъгълния триъгълник получаваме:
[tex]OT^{2 } = BT.CT \Leftrightarrow r^{2 } = \frac{a}{2} . \frac{c}{2} \Leftrightarrow r^{2 } = \frac{a.c}{4} \Leftrightarrow 4 r^{2 } = a.c \Leftrightarrow (2r)^{2 } = a.c[/tex]
$$\Rightarrow 2r = \sqrt{a.c} $$