Помощ за задача с окръжности за 8. клас

[Гост]

Окръжностите k1(O1; r1) и k2(O2; r2) се допират външно. Ако r1 = 4.5 cm и r2 = 1.5 cm, намерете ъгъла между двете им общи допирателни.
Трябва да се получи 60 градуса. Благодаря предварително!

[ammornil]

Окръжностите k1(O1; r1) и k2(O2; r2) се допират външно. Ако r1 = 4.5 cm и r2 = 1.5 cm, намерете ъгъла между двете им общи допирателни.
Трябва да се получи 60 градуса. Благодаря предварително!

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-05-13 220506.png (68.6 KiB) Прегледано 94 пъти

$\\[12pt]\begin{cases} FT_{1} = FS_{1} \\[6pt] O_{1}T_{1} = O_{1}S_{1} =r_{1} \\[6pt] \angle{O_{1}T_{1}F} = \angle{O_{1}S_{1}F} =90^{\circ} \end{cases} \\ \quad \Rightarrow \triangle{FT_{1}O_{1}} \cong \triangle{FS_{1}O_{1}} \Rightarrow \begin{cases} \angle{T_{1}FO_{1}}= \angle{S_{1}FO_{1}}= 90^{\circ} -\angle{TO_{1}F} \end{cases} \\[12pt] О_{1}O_{2}T_{2}T_{1} - \text{ трапец, защото } \begin{cases} O_{1}T_{1}\bot{T_{1}F} \\ O_{2}T_{2}\bot{T_{1}F} \end{cases} \Rightarrow O_{1}T_{1}\|O_{2}T_{2} \\[12pt] O_{2}' \in{O_{1}T_{1}}, O_{2}O_{2}' \bot{O_{1}T_{1}} \Rightarrow O_{2}O_{2}'T_{1}T_{1} - \text{ правоъгълник } \Rightarrow T_{1}O_{2}'= T_{2}O_{2} =1,5 \Rightarrow O_{2}'O_{1}= 4,5 -1,5 =3 \\[12pt] \triangle{O_{1}O_{2}'O_{2}} \rightarrow \begin{cases} \angle{O_{1}O_{2}'O_{2}}=90^{\circ} \\[6pt] O_{2}'O_{1}= 3 \\[6pt] O_{1}O_{2} =4,5 +1,5 =6 \end{cases} \\ \Rightarrow \dfrac{O_{2}'O_{1}}{O_{1}O_{2}}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle{O_{2}'O_{2}O_{1}}= 30^{\circ} \\[6pt] \quad \angle{O_{2}'O_{1}O_{2}}= 60^{\circ} \equiv \angle{TO_{1}F} \\[12pt] \angle{T_{1}FO_{1}}= \angle{S_{1}FO_{1}}= 90^{\circ} -\angle{TO_{1}F}= 30^{\circ} \Rightarrow \angle{T_{1}FT_{2}}= 60^{\circ}$




Използвали сме, че радиусите към допирателната в точката на допиране са перпендикулярни на допирателната.
Използвали сме, че допирателните от външна точка до окръжност са равни.