Описани окръжности

[Гост]

Дадени са две окръжности [tex]k_{1 }[/tex] и [tex]k_{2 }[/tex] с радиуси [tex]r_{1 }[/tex] и [tex]r_{2 }[/tex] съответно и пресичащи се в точки A и B. Обща външна допирателна на окръжностите допира [tex]k_{1 }[/tex] в точка C, а [tex]k_{2 }[/tex] - в точка D.
a) Да се докаже, че описаните около [tex]\triangle[/tex]CDA и [tex]\triangle[/tex]CDB окръжности имат равни радиуси
б) Да се намери този радиус (като функция на [tex]r_{1 }[/tex] и [tex]r_{2 }[/tex])

[Darina73]

а) Да означим [tex]\angle O_{1 }CB = \gamma[/tex] и [tex]\angle O_{2 }DB= \varphi[/tex]
([tex]\triangle[/tex]BDC) [tex]\angle[/tex]CBD+[tex]\angle[/tex]BCD+[tex]\angle[/tex]BDC=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CBD+(90[tex]^\circ- \gamma )[/tex]+(90[tex]^\circ - \varphi )= 180 ^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]CBD= [tex]\gamma+ \varphi[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]CAD=[tex]\angle[/tex]CAB+[tex]\angle[/tex]BAD =[tex]\frac{ (\angle)C O_{1 }B }{2} + \frac{ (\angle)B O_{2 }D }{2}[/tex]= [tex]\frac{180 ^\circ-2 \gamma }{2} +\frac{180 ^\circ-2 \varphi }{2}[/tex]

[tex]\angle[/tex]CAD= 180[tex]^\circ-( \gamma+ \varphi )[/tex] (2)

Около [tex]\triangle[/tex]CDA и [tex]\triangle[/tex]CDB описваме окр.[tex]K_{3 }( O_{3 } ; r_{3 })[/tex] и окр. [tex]K_{4 }( O_{4 }; r_{4 })[/tex]
([tex]\triangle[/tex]CDA -sin T) [tex]\frac{CD}{sin (\angle)CAD }=2 r_{3 }[/tex] ;[tex]r_{3 }= \frac{CD}{2sin[ 180 ^\circ -( \gamma + \varphi) ] }[/tex] ; [tex]r_{3 }= \frac{CD}{2sin( \gamma+ \varphi )}[/tex] (3)

([tex]\triangle[/tex]CDB -sin T) [tex]\frac{CD}{sin( \angle)CBD }= 2 r_{4 }[/tex] ; [tex]r_{4 }= \frac{CD}{2sin( \gamma + \varphi) }[/tex] (4)
От (3) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]r_{3 } =r_{4 }[/tex]

[Гост]

[tex]\angle[/tex]CAD=[tex]\angle[/tex]CAB+[tex]\angle[/tex]BAD

Защо?

[Darina73]

Гледайки чертежа забелязваме ,че еди ъгъл ( [tex]\angle[/tex]CAD ) може да се представи като
сбор на два ъгъла ( [tex]\angle[/tex]CAB и [tex]\angle[/tex]BAD ) ,които имат общо рамо - AB .
Един ъгъл може да се представи като сбор на три ,или повече ъгъла .

На б) получих [tex]r_{3 } =r_{4 }= \sqrt{ r_{1 } r_{2 } }[/tex]
Това ли е отговора ?

[Гост]

Да.

[Гост]

Гледайки чертежа забелязваме ,че еди ъгъл ( [tex]\angle[/tex]CAD ) може да се представи като
сбор на два ъгъла ( [tex]\angle[/tex]CAB и [tex]\angle[/tex]BAD ) ,които имат общо рамо - AB .
Един ъгъл може да се представи като сбор на три ,или повече ъгъла .

На б) получих [tex]r_{3 } =r_{4 }= \sqrt{ r_{1 } r_{2 } }[/tex]
Това ли е отговора ?

Като направих чертежа с Geogebra и изобщо не ми излшза това като вярно твърдение.

[Darina73]

Не умея да пращам чертежи ,но окр.[tex]К_{1 }[/tex] е отляво ,окр.[tex]К_{2 }[/tex] е отдясно .
Допирателната е над тези окр. а ,окр.[tex]К_{3 }[/tex] е между тях двете и окр.[tex]К_{4 }[/tex] е над другите окръжности .

б) [tex]r_{3 }[/tex] =?
Нека т.M и т. N са среди съответно на хордите BC и BD .
Тогава [tex]\triangle O_{1 }MC[/tex] е правоъгълен и cos[tex]\gamma= \frac{CM}{ CO_{1 } }[/tex] ; cos[tex]\gamma= \frac{BC}{2 r_{1 } }[/tex] ; BC=2[tex]r_{1 }.cos \gamma[/tex] (5) ,аналогично BD=2[tex]r_{2 }.cos \varphi[/tex] (6)
([tex]\triangle[/tex]BDC -sin T) [tex]\frac{BC}{sin(90 ^\circ- \varphi )}= \frac{BD}{sin(90 ^\circ - \gamma) }[/tex]
BC.cos[tex]\gamma=BD.cos \varphi[/tex] ( виж (5) ,(6))

[tex]2r_{1 }. cos^{2 } \gamma =2 r_{2 } .cos^{2 } \varphi \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{cos \varphi }{cos \gamma } = \sqrt{ \frac{ r_{1 } }{ r_{2 } } }[/tex] (7)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]BDC
[tex]\frac{BC.CD.sin( \angle)BCD }{2}= S_{BDC } =\frac{BC.BD.sin( \angle)CBD }{2}[/tex] ( виж (1) )

CD.sin(90[tex]^\circ- \gamma )=BD.sin( \gamma + \varphi )[/tex] ( виж (3) и (6) )

[tex]2r_{3 }.sin( \gamma+ \varphi ).cos \gamma =2r_{2 }.cos \varphi.sin( \gamma+ \varphi )[/tex]

[tex]r_{3 }= \frac{ r_{2 }.cos \varphi }{cos \gamma }[/tex] ( виж (7) )=[tex]r_{2 }. \frac{ \sqrt{ r_{1 } } }{ \sqrt{ r_{2 } } }[/tex]= [tex]\sqrt{ r_{2 } } .\sqrt{ r_{2 } }. \frac{ \sqrt{ r_{1 } } }{ \sqrt{ r_{2 } } }[/tex]

[tex]r_{3 } =r_{4 }= \sqrt{ r_{1 } r_{2 } }[/tex]