Няколко задачи за окръжности

[*moon_flower*]

1. В окръжност с център О е вписан остроъгълен триъгълник АВС с ортоцентър Н. Да се докаже, че ъглополовящата на ъгъл АСВ разполовява ъгъл ОСН.

2. Около окръжност с център I е описан триъгълник АВС, а Q е центърът на външновписаната окръжност, която се допира външно до страната ВС. Да се докаже, че точките В, С, I и Q лежат на една окръжност.

3. Да се докаже, че най-голямата секуща през общата точка на две пресичащи се окръжности е успоредна на централата им.

4. Около даден триъгълник да се опише равностранен триъгълник с най-голям периметър.

5. Даден е равнобедрен трапец ABCD, в който малката основа CD е равна на бедрата. Диагоналите се пресичат в т.Е, a точките M, N и P са средите съответно на CD, DE и AE. Да се докаже, че точките B, C, M, N и P лежат на една окръжност.

И искам да питам вярно ли е, че в един триъгълник, ако единият ъгъл е два пъти по-голям от другия, то и срещулежащата му страна е два пъти по-голяма.

[prodanov]

Само в правоъгълен триъгълник.

[ganka simeonova]

Само в правоъгълен триъгълник.

[ptj]

За последния въпрос: Вярно е само, че страната е по-голяма. Мини през синусова теорема и ще се убедиш. Ти питаш :
"Kога [tex]sin {(2\alpha)}=2.sin\alpha[/tex]"?
Решението е [tex]cos\alpha =1[/tex], т.е. никога.

[prodanov]

Само в правоъгълен триъгълник.

Мдам, глупости говоря. Имах в предвид 30 градуса ъгъл, но въпроса е друг.

[ptj]

2-рата е с един ред- достатъчно е да съобразиш къде лежат двата центъра ( на ъглополовящите). Тогава сумата на половинките на два съседни ъгъла е точно [tex]\frac{\pi }{2 }[/tex], т.е. [tex]\angle IBQ=\angle ICQ=90^\circ[/tex].