Геометрична задача 8 от СУ

[v1rusman]

зад. Дадена е окръжност [tex]k(O;2)[/tex] и точка [tex]M[/tex], външна за окръжността. Секущата [tex]OM[/tex] пресича окръжността в точките [tex]A[/tex] и [tex]D[/tex]( [tex]D[/tex] е между [tex]O[/tex] и [tex]M[/tex]). Втора секуща на разстояние 1 от центъра на окръжността пресича окръжността в точките [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex]( [tex]C[/tex] е между [tex]B[/tex] и [tex]M[/tex]). Да се намери разстоянието [tex]MO[/tex], ако лицето на четириъгълника [tex]ABCD=\frac{(\sqrt{2} +\sqrt{6} +2\sqrt{3} )}{2 }[/tex]

[ganka simeonova]

Значи двете секущи минават през М?

[v1rusman]

Точно.

[ganka simeonova]

Означаваме [tex]ND=x. NC=y[/tex]
[tex]KP.PL=CP.PB=>CP=PB=\sqrt{3}[/tex]
[tex]ND.NA=NC.NB[/tex]=>[tex]x(x+4)=y(y+2\sqrt{3} )[/tex](1)
[tex]\Delta NOP=>sin\angle ONP=sin\alpha =\frac{1}{x+2 }[/tex]
[tex]S_{ABN}-S_{DCN}=S_{ABCD}=>\frac{(x+4)(y+2\sqrt{3})-xy }{2(x+2) } =\frac{\sqrt{2} +\sqrt{6} +2\sqrt{3} }{2 }[/tex]=>(2)....

Изразяваме у от (2) и заместваме в (1). Получаваме [tex]x=2(\sqrt{3} +1)[/tex]

Системата е леко тегава, заради корените, но ако направош някои трикчета, става

[tex]NO=x+2=2\sqrt{3} +2+2=4+2\sqrt{3} =(\sqrt{3} +1)^2[/tex]