Окръжност и ромб

[maria o96]

В ромба АВСD с ъгъл А=60 градуса е вписана окръжност к с радиус r. Намерете радиуса на окръжността к1, която се допира до страните АВ и АD на ромба и външно до окръжостта к.

[ева]

окр.[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];х) се допира до правите АВ и AD в т.[tex]В_{1 }[/tex] и [tex]D_{1 }[/tex].Нека т.Т лежи на отс. [tex]О_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex],като ОТ[tex]\bot[/tex][tex]О_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex];К(О;r)-вписана в ABCD;т.Н лежи на отс.АВ,като ОН[tex]\bot[/tex]АВ т.е.ОН=r
[tex]О_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex]=х=?
[tex]\triangle[/tex]ОТ[tex]О_{1 }[/tex] е правоъг.от Питагор [tex]ОТ^{2}[/tex]+[tex]О1Т^{2}[/tex]=[tex]ОО1^{2}[/tex] (Н[tex]В_{1 }[/tex]ТО -правоъгълник)
[tex]HB_{1 }^{2}[/tex]+[tex](х-r)^{2}[/tex]=[tex](х+r)^{2}[/tex]
[tex](AB_{1 }-AH)^{2}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]-2rх+[tex]r^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+2rх+[tex]r^{2}[/tex]
[tex](х.cotg(O1AB1)-r.cotg(OAH) )^{2}[/tex]-4rх=0 ([tex]\angle[/tex][tex]О_{1 }[/tex]А[tex]В_{1 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]ОАН=30[tex]^\circ[/tex])
[tex](х\sqrt{3}-r\sqrt{3})^{2}[/tex]-4rх=0
3[tex]x^{2}[/tex]-10r.х+3[tex]r^{2}[/tex]=0 кв.ур-е
D=25[tex]r^{2}[/tex]-9[tex]r^{2}[/tex]=16[tex]r^{2}[/tex]
[tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{5r\pm4r}{3}[/tex] [tex]x_{1 }[/tex]=3r,[tex]x_{2 }[/tex]=[tex]\frac{r}{3}[/tex]<r[tex]\Rightarrow[/tex]отпада
отг.3r