Описан трапец

[lamptz]

Около окръжност с радиус R е описан равнобедрен трапец. Лицето на четириъгълника, върховете на който са допирните точки на окръжността със страните на трапеца, е равно на S. Да се намери лицето на трапеца.

Въпросният четириъгълник случайно да не е делтоид ??? ...

[Евва]

Да означим ABCD-равнобедрен трапец и MNPQ-четириъгълник , като т.М лежи на отс.АВ
и D[tex]D_{1 }[/tex]-височина на трапеца .
Нека AM=BM=AQ=BN=a и CP=DP=DQ=CN=b , [tex]\angle[/tex]QMP=[tex]\alpha[/tex] .
Тогава [tex]\angle[/tex]QMP=[tex]\angle[/tex]ОАМ=[tex]\angle[/tex]QAO=[tex]\alpha[/tex] ( ъгли с взаимноперпендикулярни рамене )
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?

Знаем [tex]S_{MNPQ }[/tex]=S ; 2[tex]S_{MPQ }[/tex]=S
2.[tex]\frac{ MP^{2 } sin \alpha .sin(90 ^\circ - \alpha) }{2sin90 ^\circ }[/tex]=S

[tex]\frac{4 R^{2 } .sin \alpha .cos \alpha }{1}[/tex]=S

2[tex]R^{2 }[/tex]sin(2[tex]\alpha[/tex])=S
[tex]\frac{D D_{1 } }{AD}[/tex]=[tex]\frac{S}{2 R^{2 } }[/tex]

[tex]\frac{2R}{a+b} =\frac{S}{2 R^{2 } }[/tex]

a+b=[tex]\frac{4 R^{3 } }{S}[/tex] (1)

[tex]S_{ABCD }[/tex]= [tex]\frac{(2a+2b).2R}{2}[/tex]= 2R(a+b) =2R.[tex]\frac{4 R^{3 } }{S}[/tex]=[tex]\frac{8 R^{4 } }{S}[/tex]