Отношения

[Nuki]

1.През средата на Р медианата СМ на АВС е построена права АР, пресичаща страната ВС в точка D. Отношението CD:CB e raвно..
2.Точката М е медицентър на АВС, а точката Р лежи върху страната АВ, като АP:PB=2:1. Отношението на лицата на триъгълниците ВМР и АВС е рано на:

Задачи с допълнителни построения, когато се търси отношения изобщо не ги разбирам.

[Anubis]

Построяваме [tex]MT||AD[/tex].

[tex]\triangle ABD \sim \triangle MBT \Rightarrow\frac{AB}{MB} = \frac{BD}{BT} = \frac{AD}{MT} = 2[/tex]

Тогава [tex]BD = 2 BT[/tex]. Нека [tex]BT = x, \quad BD = 2x[/tex].

[tex]PD||MT[/tex] и [tex]P[/tex] е среда на [tex]CM[/tex]. Така [tex]PD[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle MTC \Rightarrow CD = x[/tex].

[Anubis]

През медицентъра построяваме [tex]KT||AB[/tex].

[tex]\triangle ABC \sim \triangle KTC \Rightarrow \frac{AB}{KT}=\frac{BC}{TC}=\frac{AC}{KC}=\frac{h_{AB}}{h_{KT}} = \frac{3}{2}[/tex]

Оттук [tex]h_{KT} = \frac{2}{3}h_{AB} \Rightarrow MH=\frac{1}{3}h_{AB}[/tex].

[tex]S_{\triangle BPM} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot MH = \fbox{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot \fbox{AB} \cdot \frac{1}{3} \cdot \fbox{CD} = \frac{1}{9} S_{\triangle ABC}[/tex]

Ето защо [tex]\frac{S_{BPM}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{9}[/tex].