Намерете точка Х

[mdelyakova]

Върху страната АС на триъгълник АВС е фиксирана т.М. Да се намери точка Х от страната BC, за която разстоянието й до М да е равно на сумата от разстоянията на точките М и Х до АВ.

[Knowledge Greedy]

Построение:
1.) [tex]M'[/tex] симетрична на [tex]M[/tex] относно [tex]AB.[/tex]
2.) [tex]m \parallel AB[/tex] , като [tex]M'\in m[/tex]
3.) [tex]m\cap BC= O[/tex]
4.) Произволна точка [tex]X_{0}\in BC[/tex]
5.) Точка [tex]T,[/tex]такава че [tex]X_{0}T\bot m[/tex] и [tex]T\in m[/tex]
6.) Окръжност [tex]\kappa[/tex] с център [tex]X_{0}[/tex] и радиус [tex]X_{0}T[/tex]
7.) [tex]\kappa\cap OM= M_{0}[/tex]
8.) Права [tex]x,[/tex] [tex]M\in x \parallel M_{0}X_{0}[/tex]
9.) [tex]x\cap BC = X[/tex]- търсената точка.

Хомотетия.PNG (12.18 KiB) Прегледано 1196 пъти

Доказателство: Спускаме [tex]XU\bot m, U\in m[/tex]. Нека още [tex]XU\cap AB=Q[/tex].
И още - нека правата [tex]x\cap \omega(M,MP)=V.[/tex]
От подобията [tex]\Delta OXU \sim \Delta OX_{0}T[/tex] и [tex]\Delta OXM \sim \Delta OX_{0}M_{0}[/tex]
установяваме, че [tex]XU=XM.[/tex] Оттук [tex]XV=XQ[/tex] и окръжността [tex]\gamma(X,XV)[/tex] е допираща се не само до [tex]\omega[/tex],но и до [tex]AB[/tex] в точка [tex]Q,[/tex] т.е. [tex]MX=MP+XQ,[/tex] което трябваше да докажем.
Изследването е също интересно. Трябва да се проследи изпълнимостта на всяка от операциите от етапите на построението и по колко начина може да се извърши всеки етап.