Задача с хомотетия

[emsihammer98]

Права, успоредна на основите AB и CD на трапец ABCD, пресича AD, AC, BD, BC съответно в точките K, L, P, Q.
Да се докаже, че KL= PQ.

Ако можете да ме насочите.

[pal702004]

Докажете, че във всеки трапец права, успоредна на основите дели бедрата в равни отношения.

[emsihammer98]

Пробвах да го докажа, но нещо не се получава както трябва.Иначе благодаря.
Ако някой може да ми помогне още, ще се радвам

[Knowledge Greedy]

Eто едно солидно упътване, което може да се счита за решение:

Докажете, че във всеки трапец права, успоредна на основите дели бедрата в равни отношения.

Как аз разбирам въпроса?
Може би въпросът е затова как да се опише решението с хомотетия?

Ето отговор на този въпрос.
Нека [tex]h(A, L\rightarrow C)[/tex] е хомотетия с център [tex]A[/tex] .
Явно [tex]K\rightarrow D[/tex] и коефициентът и е [tex]k=\frac{AK}{AD }=\frac{AL}{AC }[/tex]

Да разгледаме втора хомотетия [tex]h_{2}(C, L\rightarrow A)[/tex] - с център [tex]C[/tex] .
Тук [tex]Q\rightarrow B[/tex] и коефициентът и е [tex]k_{2}=\frac{CL}{CA }=\frac{CQ}{CB }[/tex]

Важна зависимост, която забелязваме между двата коефициента е [tex]k+k_{2}=1[/tex], защото [tex]\frac{AL}{AC }+\frac{CL}{CA }=\frac{AC}{AC }=1[/tex].
Тогава от равенството [tex]\frac{CQ}{CB }=k_{2}[/tex] веднага следва, че [tex]\frac{BQ}{BC }=\frac{AK}{AD }[/tex] [tex](\ast)[/tex].
(Дотук реализирахме част от упътването на pal702004.)

Сега да разгледаме последна хомотетия [tex]h_{3}(B, Q \rightarrow C)[/tex] – с връх [tex]B[/tex] и същия коефициент като на първата, само че тук го записваме [tex]\frac{BQ}{BC }[/tex] .
При първата хомотетия [tex]KL\rightarrow DC[/tex], но същото се получава и при третата хомотетия [tex]PQ \rightarrow DC[/tex].
От равенствата за дължините на образите на отсечките [tex]KL[/tex] и [tex]PQ[/tex] при двете хомотетии
получаваме
[tex]DC=k KL[/tex] и [tex]DC=k PQ[/tex], [tex]\Rightarrow[/tex] че те са равни [tex]KL = PQ .[/tex]

[inveidar]

[inveidar]

Докажете, че във всеки трапец права, успоредна на основите дели бедрата в равни отношения.

Елементарно следствие от теоремата на Талес. Има го и в учебниците като обобщение веднага след теоремата. Две или повече успоредни прави отсичат от две пресичащи се прави съответно пропорционални отсечки!

[inveidar]

Да се решава тази задача с хомотетия е, меко казано, безумие! Да се илюстрира методът на хомотетията с такива неподходящи задачи е най-добрия начин да отвратиш някого от математиката! Този, който е дал задачата на учениците, е за бой с пръчка!

[monika_at]

Да се решава тази задача с хомотетия е, меко казано, безумие! Да се илюстрира методът на хомотетията с такива неподходящи задачи е най-добрия начин да отвратиш някого от математиката! Този, който е дал задачата на учениците, е за бой с пръчка!

Подкрепям с две ръце.

[Knowledge Greedy]

Два пъти си изтривам репликата на репликите на този коментар, но все се чувствам задължен да дам отговор.
Не сме дипломати, за да редактираме всеки текст така прецизно, че да не стане война.

... меко казано, безумие! ... е най-добрия начин да отвратиш някого от математиката! ...

Но въпреки всичко войната във взаимоотношенията никога не спира.
Как да се разбира "безумие", "неподходящи задачи" и пр.?
Като камъни в двора на колегата. Посяване съмнения в ученика, не само в отговора на будалата, който си е загубил половин час да опише решението, а и в компетентността на своя учител. Между нас казано - ДА, критика винаги е нужна, но в лични съобщения. А тук всичко се вижда!
(В случая се вижда и простата идея за решение- по Талес, която за ученика изобщо не представлява решение. Той се нуждаеше от помощ в описанието на решението с хомотетия.)

Каква трябва да бъде професионалната реакция? Едно просто, елегантно решение с искания метод. Ако е невъзможно, то просто и елегантно решение с друг метод няма да нагнетява напрежението, а ефективно ще помогне на питащия.

А питащият заслужава. Той е работил върху проблема, направил си е труда да предложи чертеж и е осъзнал много. Той не бива да вижда този уж шеговит, но вреден

... начин да отвратиш някого от математиката!...

Само така мога да възприемам коментара и недообмислената добавка на другия колега.

Просто напиши съвет, упътване или решение!

[inveidar]

Knowledge Greedy, ти и тези, които са ти дали положителен вот, просто ставате съучастници в безумието! Искаш да ми кажеш, че ако на улицата срещнеш някой родител да малтретира детето си, няма да му кажеш, че това, което върши е безумие, а ще му дадеш съвет как да го направи по-обмислено и с финес?! А на детенцето ще обясниш, че мъченията са полезни и трябва да ги приеме с достойнство и търпение?! Хайде няма нужда! Защо ти не реши задачата по друг начин? Знам, че можеш.

[monika_at]

Аз, когато подкрепих Емо, нямах намерение да те обидя, Knowledge Greedy. В никакъв случай. Твоите постове са издържани и точни. Наистина задачата е пусната в раздел с Хомотетия и е решена вярно. Но, Емо е прав, в мненията си. Има много други задачи, които биха се решили чудесно с хомотетия, а тази се решава чудесно с Талес.

[inveidar]

Права, успоредна на основите AB и CD на трапец ABCD, пресича AD, AC, BD, BC съответно в точките K, L, P, Q.
Да се докаже, че KL= PQ.
Ако можете да ме насочите.

Хайде да се изясним. Искаш да решим задачата непременно с хомотетия или може и с теорема на Талес и подобни триъгълници?

[emsihammer98]

Благодаря на човека, който ми помогна с задачата.
Иначе тази задача можете да видите в Сборника на Коста Коларов (жълтия Геометрия) глава 13.
Ще ви пратя и снимки.
Глава 13,в сборника, се нарича Хомотетия, заради което аз предположих, че щом е дадена задачата там трябва да я реша с хомотетия.
Признавам си , че частта с хомотетията в часовете по математика не я разбрах напълно и като отворих учебника си..с две думи казано - обърках се напълно. Пишейки тук моята цел не беше някой да ми реши задачата и аз после само да я препиша, а и да я разбера.

П.С: И според мен Теоремата на Талес е най- очевидното решение, но пък като я искат с Хомотетия какво да се прави.
П.С2: Долните два линка са към двете снимки от сборника, за да покажа, че задачата е от раздел Хомотетия.

http://prikachi.com/images/964/7611964C.jpg
http://prikachi.com/images/965/7611965L.jpg

[kmitov]

Защо не напишете решението на задачата с теоремата на Талес (подробно, както е написано решението с хомотетия), за да сравни човек, с какво е по-добро (по-ясно е, по-кратко е или по-незнам си какво). Вместо това пишете приказки за това как някой си бие детето си на площада.