Периметри на триъгълници...

[Вес]

Здравейте форумци,

Задачата е следната:

Нека точката D лежи на външната ъглополвяща на ∠C на △ABC. Да се докаже, че периметърът на △ABD е по-голям или равен на периметъра на △ABC. Кога се достига равенство?

Моите разсъждения започват малко отзад напред...
? P(ABC)[tex]\le[/tex] P(ABD)
P(ABC) = AB+BC+CA
P(ABD) = AB+BD+DA
AB+BC+CA [tex]\le[/tex] AB+BD+DA

Според мен трябва да докажем че:
BC+CA [tex]\le[/tex] BD+DA
... но съм спряла до тук. Също така мисля че ще трябва да се използва по някакъв начин че CD е ъглополовяща, но не виждам с какво точно ни помага вслучая.
Някакви идеи?

[ptj]

Ако фиксираме [tex]AB[/tex], а [tex]AC+CB=const[/tex], то точка [tex]C[/tex] ще опише елипса.

Нейните 2 фокуса са точките [tex]А[/tex] и [tex]B[/tex].

Елипсата като отражател:

Ако имаме елипсовидно огледало с източник на светлина в един от фокусите, тогава всички лъчи ще се отразяват към една точка - втория фокус. Тъй като няма друга крива с това свойство, то може да бъде използвано като алтернативна дефиниция на елипса .

За да е изпълнено последното, трябва допирателната във всяка една точка на елипсата да е перпендикулярна на ъглополовящата на ъгъла свързващ я с фокусите (ребрата с край фокус-точка от елипсата).

Понеже т.[tex]D[/tex] ще лежи на допирателната, имаща само една точка с елипсата, то тя ще е външна за самата елипса. Тогава сумата [tex]AD+DB>const[/tex].
Ako пресечената точка на [tex]DB[/tex] с елипсата ще е [tex]C_1[/tex], то от неравенство на триъгълника ще имаме
[tex]АD+DC_1>AC_1\Leftrightarrow AD+DB=AD+DC_1+C_1B>AC_1+C_1B=AC+CB=const[/tex]

T.e. трябва да докажеш, че всички допирателни на елипсата имат само по една обща точка с нея.
Лесно е например с параметричните уравнения на елипсата:
[tex]x=a.cos{t}[/tex]
[tex]y=b.cos{t}[/tex]
[tex]0 \le t<2\pi[/tex]

[inveidar]

ттт.png (14.38 KiB) Прегледано 1332 пъти

Какви елипси, какви 5 лева за тази проста задача?!

[ptj]

Не мога да знам всички изкуствени построения...

П.П. От последното ми мнение 11-то класник учил физика (оптика) би трябвало да не разбира само частта за параметричните уравнения.

[Вес]

Много благодаря за страхотният чертеж, наистина е простичка задачата, стига да се досетиш за построението.

[plamendor]

При симетрия спрямо правата CD точката В се изобразява в точка В' от противоположния лъч на СА[tex]\rightarrow[/tex].
Тогава АD+BD >= AC+BC и равенството се достига при D съвпаднало с С.

[plamendor]

Здравейте форумци,

Задачата е следната:

Нека точката D лежи на външната ъглополвяща на ∠C на △ABC. Да се докаже, че периметърът на △ABD е по-голям или равен на периметъра на △ABC. Кога се достига равенство?

Моите разсъждения започват малко отзад напред...
? P(ABC)[tex]\le[/tex] P(ABD)
P(ABC) = AB+BC+CA
P(ABD) = AB+BD+DA
AB+BC+CA [tex]\le[/tex] AB+BD+DA

Според мен трябва да докажем че:
BC+CA [tex]\le[/tex] BD+DA


... но съм спряла до тук. Също така мисля че ще трябва да се използва по някакъв начин че CD е ъглополовяща, но не виждам с какво точно ни помага вслучая.
Някакви идеи?

При симетрия спрямо правата CD точката В се изобразява в точка В' от противоположния лъч на СА→→.
Тогава АD+BD >= AC+BC и равенството се достига при D съвпаднало с С.