Преливания - пълно решение

[jordano]

Задачата е:
Три съда с обеми А, В и С (естествени числа), като А>В>С>0, А=В+С, А е четно.
Съдът А е пълен с течност. Чрез преливания да се раздели течността от А на две равни части.

Въпросът е : при какви стойности на В и С задачата има решение?

Ако се вгледаме внимателно в една решена задача, веднага се забелязва, че всички преливания се свеждат до следните две операции:
А<= А-В+С и А<= А+С.
Ако броят на първия вид преливания означим с Х, а на втория - с Y, тогава целият процес на преливанията до достигане на крайния резултат се представя с уравнението:
А/2=A-X(B-C) + YC при Y>=0 и X>0,
защото първото преливане е винаги операцията Х. Ако заместим А с равното му В+С, получаваме:
(2X-1)B = (2X+2Y+1)C., (1)
Сега вече задачата се свежда до намиране на такива цели стойности на X и Y, които да удовлетворяват горното Диофантово уравнение. Решението му е :
Y=t и X=(2Ct+A)/2(B-C) при t>=0 (2)
Отговорът на поставения в началото въпрос е: при дадени В и С задачата има решение само тогава, когато може да се намери такава цяла стойност на t, за която X и Y да са цели числа.
Например:
за тройката (14,9,5) t=Y=1, X=3,
за тройката (16,12,4) t=Y=0, X=1,
за тройката (14,8,6) няма решение.

Първи частен случай:
Ако В и С са нечетни числа, в лявата страна на уравнение (1) са две нечетни числа, а в дясната - едно нечетно (С). Следователно и другото число (2X+2Y+1) трябва да е нечетно. Тогава наи-простото решение на уравнението е:
C=2X+1 и B=2X+2Y+1,
откъдето X=(C+1)/2 и Y=(B-C)/2 + 1.
Тези стойносто на X и Y винаги съществуват, защото (С+1) и (В-С) са четни и В-С>=2.Т.е. при нечетни В и С задачата винаги има решение.

Втори частен случай:
Ако В и С са четни, но В/2 и С/2 са нечетни, уравнението (1) добива вида:
2(2X-1)B/2 = 2(2X+2Y+1)С/2
откъдето X=(C+2)/4 и Y=(B-C)/4 -1
T.e. в този случай, ако са изпълнени последните две условия решение има. В противен случай трябва да се обърнем към общото решение (2).
Например за тройката (20,14,6) X=2, Y=0.
Поздрави от Дядо.