Задача за равнобедрен трапец

[Австралопитек]

Здравейте! Имам проблем с една задача! Благодаря на всеки помогнал!
Диагоналите на равнобедния трапец ABCD (AB II CD) са взаимно перпендикулярни. Намерете височината и лицето на трапеца, ако:
А) AB = 4 см, CD = 2 см.
Б) AB = a, CD = b.
Според мен трябва да има допълнително построение и след дълго време установих, че ще е през точка C, а именно CM II BD. Оттук не знам какво следва.

[loving_math]

Няма нужда от построения.
1. Питагор за триъгълник АОВ, намиране на АО=ВО
2. От подобни триъгълници AOB и COD намиране на ОС=OD (или пак Питагор)
3. Намиране на лицето на трапец по формулата за полупроизведение на диагонали и синус на ъгъла между тях.[tex]\frac{AC.BD.sin <BOC}{2}[/tex]
4. Изразяване на лицето и по формулата [tex]S=\frac{(a+b)h}{2}[/tex]
5. Приравняване на лицата и намиране на височината

[Австралопитек]

Няма нужда от построения.
1. Питагор за триъгълник АОВ, намиране на АО=ВО
2. От подобни триъгълници AOB и COD намиране на ОС=OD (или пак Питагор)
3. Намиране на лицето на трапец по формулата за полупроизведение на диагонали и синус на ъгъла между тях.[tex]\frac{AC.BD.sin <BOC}{2}[/tex]
4. Изразяване на лицето и по формулата [tex]S=\frac{(a+b)h}{2}[/tex]
5. Приравняване на лицата и намиране на височината

Май не изясних, че става въпрос за 7 клас.

[Австралопитек]

Няма нужда от построения.
1. Питагор за триъгълник АОВ, намиране на АО=ВО
2. От подобни триъгълници AOB и COD намиране на ОС=OD (или пак Питагор)
3. Намиране на лицето на трапец по формулата за полупроизведение на диагонали и синус на ъгъла между тях.[tex]\frac{AC.BD.sin <BOC}{2}[/tex]
4. Изразяване на лицето и по формулата [tex]S=\frac{(a+b)h}{2}[/tex]
5. Приравняване на лицата и намиране на височината

Синус 90 градуса е 1 и като го заместим във формулата, която си дал става S=1/2.AC.BD. Какво трябва да изравня? Ако я изравня с S=(a+b).h/2=6h, малко не разбирам как ще стане.

[S.B.]

Ако още не сте учили Питагорова теорема тогава става с това построение ,за което споменаваш:
Трапец ABCD, AB II CD, AB = 4,CD = 2;Равнобедрен e [tex]\rightarrow[/tex] освен,че AD = BC то и AC = BD;Aко AC X BD = т.O ,[tex]\angle[/tex]АОB = 90[tex]^\circ[/tex]
Построяваш CM II BD; Точка M лежи на продължението на AB,като т.B e между A и M;BMDC е успоредник защото BD II MC и BM II DC [tex]\rightarrow[/tex] BM = DC = 2см. Разглеждаш [tex]\triangle[/tex]AMC - той е рабнобедрен - AC = CM и е правоъгълен защото [tex]\angle[/tex]ACM = [tex]\angle[/tex]AOB = 90[tex]^\circ[/tex].Медианата към основата и височината съвпадат,а медианата е = [tex]\frac{АМ}{2}[/tex],хипотенузата AM = AB + BM = 4 + 2 = 6,следователно медианата = 3 ,но медианата и височината съвпадат,защото е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex]h = 3;
[tex]S_{AMC }[/tex] = [tex]\frac{AB + BM}{2}[/tex].h ; [tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{AB + CD}{2}[/tex].h , CD = BM [tex]\Rightarrow[/tex][tex]S_{AMC }[/tex] = [tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]\frac{4 + 2 }{2}[/tex].3 = 3.3 = 9
Ако AB = a и CD = b тогава h= [tex]\frac{AB + CM}{2}[/tex] = [tex]\frac{a + b}{2}[/tex] и тогава S = [tex]\frac{a + b}{2}[/tex]. h = [tex]\frac{(a + b)^{2}}{4}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Добре, че каза за VII- ми клас ..., че имам едно седмокласниче, което ... хрупа такива задачи.
Допълнителното построение [tex]CF \parallel BD[/tex] ни дава преобразуване на трапеца в равнолицев нему триъгълник.
Забележете: [tex]S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}h[/tex] и [tex]S_{\triangle AFC}=\frac{(AB+BF).h}{2}=\frac{(a+b).h}{2}[/tex], защото [tex]BF=DC[/tex] - от успоредника [tex]BFCD[/tex](- по построение).
Остава да намерим лицето на равнобедрения ([tex]? \ast[/tex]) правоъгълен ([tex]? \ast \ast[/tex]) триъгълник [tex]\triangle AFC[/tex].
Но това лице ще намерим не като "Катет [tex]\times[/tex] катет, делено на [tex]2[/tex]", а с формулата по-горе -
"Основа [tex]\times[/tex] височина, делено на [tex]2[/tex]".
Височината [tex]h=\frac{1}{2}AF[/tex], тъй като тя е и медиана в равнобедрения правоъгълен триъгълник, следователно [tex]S_{\triangle AFC}=\frac{a+b}{2}.\frac{a+b}{2}[/tex], защото [tex]AF=a+b[/tex]
Следователно
[tex]S_{ABCD}=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2[/tex]

[ева]

Трапеца е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] АО=ВО (т.О е пресечна т.на АС и BD).
Tогава [tex]\triangle[/tex]АВО е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ОАВ=[tex]\angle[/tex]АВО=45[tex]^\circ[/tex]
Точка Т. лежи на правата CD,като АТ[tex]\bot[/tex]DC.[tex]\angle[/tex]АСТ=[tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\angle[/tex]ОАВ=45[tex]^\circ[/tex] (кръстни)
Разгледай [tex]\triangle[/tex]АСТ и ще намериш h=?
Прав си за допълнителните построения-те ще ти са нужни за намирането на d=?
Успех !

[Австралопитек]

Реших я, но малко след като пуснах темата. Стана ми интересно как може с онази формула със синус? Учил съм и знам Питагорова теорема, защото вече тя се изучава в 6 клас и ми стана интересно и я научих. Реших доста задачи, свързани с нея.

[S.B.]

Реших я, но малко след като пуснах темата. Стана ми интересно как може с онази формула със синус? Учил съм и знам Питагорова теорема, защото вече тя се изучава в 6 клас и ми стана интересно и я научих. Реших доста задачи, свързани с нея.

Ти явно не учиш в България.Питагорова теорема не може да се учи в 6 клас,защото ти е необходимо коренуване ,а коренуване се учи в 8 - 9 клас.А да не говорим за sin[tex]\alpha[/tex] - тригонометрични функции се изучават 9 - 10 клас.Формулата за лице на четриъгълник е : S = [tex]\frac{d_{1 }.d_{2 }}{2}[/tex].sin[tex]\varphi[/tex] ,където [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex] са диагоналите на четриъгълника,а [tex]\angle[/tex][tex]\varphi[/tex] e ъгълът между диагоналите.

[Австралопитек]

Реших я, но малко след като пуснах темата. Стана ми интересно как може с онази формула със синус? Учил съм и знам Питагорова теорема, защото вече тя се изучава в 6 клас и ми стана интересно и я научих. Реших доста задачи, свързани с нея.

Ти явно не учиш в България.Питагорова теорема не може да се учи в 6 клас,защото ти е необходимо коренуване ,а коренуване се учи в 8 - 9 клас.А да не говорим за sin[tex]\alpha[/tex] - тригонометрични функции се изучават 9 - 10 клас.Формулата за лице на четриъгълник е : S = [tex]\frac{d_{1 }.d_{2 }}{2}[/tex].sin[tex]\varphi[/tex] ,където [tex]d_{1 }[/tex] и [tex]d_{2 }[/tex] са диагоналите на четриъгълника,а [tex]\angle[/tex][tex]\varphi[/tex] e ъгълът между диагоналите.

В случая синус 90 градуса е 1. Как трябва да продължа решението като нямам диагоналите?

[loving_math]

Питагорова теорема наистина от тази година по новите програми се учи в 6 класв бг училищата, ама с числа, които са точни квадрати.
А ако забравим за миг, че задачата е за 7 клас и съответно се върнем на решението с приравняване на лицата, дигоналите с Питагор са намерени още в първите две стъпки.
АО+СО=АС

[S.B.]

Щом знаеш Питагор - нямаш проблем с диагоналите! От допълнителното построение получаяваш [tex]\triangle[/tex]АМC равнобедрен,правоъгълен, с катети = диагоналите и основа AB + CD = 6 ;
Ако диагоналът е х тогава 2 [tex]x^{2}[/tex] = 36 или х = 3[tex]\sqrt{2}[/tex],което явно в 7 клас е в границите на знанията ти.