Моля някой помощ

[Liageorgieva]

1. В правоагълен триъгълник с хипотенуза 25 с височина към нея 12 е вписана окръжност с диаметър същата височина. Да се намерят дължините на отсечките на катетите на които те се разделят от окръжността

[peyo]

1. В правоагълен триъгълник с хипотенуза 25 с височина към нея 12 е вписана окръжност с диаметър същата височина. Да се намерят дължините на отсечките на катетите на които те се разделят от окръжността

Диаметъра на вписаната окръжност не е ли винаги по-малък от коя да е височина?

[S.B.]

1. В правоагълен триъгълник с хипотенуза 25 с височина към нея 12 е вписана окръжност с диаметър същата височина. Да се намерят дължините на отсечките на катетите на които те се разделят от окръжността

Без заглавие - 2023-05-03T180400.960.png (378.23 KiB) Прегледано 943 пъти

Условието е грешно.Убедете се сама от четежа:
$PN$ е диаметърът, а $CH$ е височината
Очевидно [tex]CH > PN[/tex]
Човек и да иска не може да Ви помогне!
Катетите са $AC = 15 ,BC = 20$ [tex]\Rightarrow P_{ABC } = 60[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{25.12}{2} = 150[/tex]
[tex]p.r = 150 \Rightarrow 30.r = 150 \Rightarrow r = 5 \Rightarrow 2r = 10 \ne 12[/tex]

[Гост]

Окръжността не е вписана, а е с диаметър височината...

[S.B.]

Окръжността не е вписана, а е с диаметър височината...

Моля!?А каква е?Най- добре снимайте условието та да се разберем!

[S.B.]

1. В правоъгълен триъгълник с хипотенуза 25 с височина към нея 12 е описана окръжност с диаметър същата височина. Да се намерят дължините на отсечките на катетите на които те се разделят от окръжността

Без заглавие - 2023-05-03T233709.910.png (278.91 KiB) Прегледано 920 пъти

Не е указано за кой клас е задачата,за това ще използвам и тригонометрия
[tex]\triangle ABC , \angle C = 90 ^\circ ,CH \bot AB , H \in AB , AH = x , BH = 25 - x[/tex]

От метричните свойства в правоъгълен триъгълник :
[tex]AH.BH = CH^{2 } \Leftrightarrow x(25 - x) = 12^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } - 25x +144 =0 , D = 49, x_{1 } = 9, x_{2 }= 16[/tex]
Или $AH = 9 ,BH = 16$ или $AH = 16,BH = 9$

Окръжността с диаметър $ HC$ пресича $AC$ в т. $M$ и $BC$ в т. $N$
$CH$ е диаметър [tex]\Rightarrow \angle CMH = \angle CNH = 90 ^\circ[/tex]

Приемам $AH = 9,BH = 16$ (Вторият случай е аналогичен)

За [tex]\triangle AHC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам $AC = 15$
За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам $BC = 20$

От [tex]\triangle AHC \rightarrow \cos \alpha = \frac{CH}{AC } \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}[/tex]
От [tex]\triangle CMH[/tex] (правоъгълен) [tex]\rightarrow \frac{CM}{CH} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{CM}{12} = \frac{4}{5}[/tex]
$$\Rightarrow CM = \frac{48}{5} , AM = 15 - \frac{48}{5} = .... $$
От [tex]\triangle BHC \rightarrow \cos \beta = \frac{CH}{CB} \Leftrightarrow \cos \beta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}[/tex]
От [tex]\triangle CHN[/tex] (правоъгълен) [tex]\rightarrow \cos \beta = \frac{CN}{CH} \Leftrightarrow \frac{3}{5} = \frac{CN}{12}[/tex]
$$\Rightarrow CN = \frac{36}{5} , BN = 20 - \frac{36}{5} = ... $$

Скрит текст: покажи

Ако още не сте изучавали тригонометрия, намираш лицето на [tex]\triangle AHC[/tex]
[tex]S_{AHC } = \frac{AH.CH}{2} = \frac{AC.MH}{2} \Leftrightarrow \frac{9.12}{2} = \frac{15.MH}{2}[/tex] и намираш $MH$
След това от метричните свойства : [tex]CM.MA = MH^{2 } ...[/tex]Аналогично за [tex]\triangle BHC[/tex]

[Гост]

Здравейте, знам, че задачата е публикувана преди почти година, но имам въпрос към нея: защо окръжността от чертежа е описана? За да е описана не трябва ли да минава и през трите върха на триъгълник, а в случая минава само през С.

[ammornil]

Здравейте, знам, че задачата е публикувана преди почти година, но имам въпрос към нея: защо окръжността от чертежа е описана? За да е описана не трябва ли да минава и през трите върха на триъгълник, а в случая минава само през С.

Окръжността не е описана около дадения триъгълник, а около височината към хипотенузата на дадения триъгълник, така че тази височина да е диаметър на окръжността. С други думи, окръжността има за център средата на височината и за радиус - половината от височината към хипотенузата.