Задача-Ротация (Помощ)

[v_p_a]

ABCD-квадрат;точки P и Q- произволни съответно върху страните CD и BC;ъгъл PAQ=45[tex]^\circ[/tex] .Намерете периметъра P на триъгълник PQC, ако AD=a. (отговор Р=2а)

[martosss]

Нека К и М са пресечните точки съответно на АР и AQ. Тогава <PAQ=<PDM=<KBQ, откъдето четириъгълниците АВQK и AMPD са вписани в окръжност. Оттук <KPM=<ADM=45°, <KQA=<KBA=45°, откъдето около MQPK може да се опише окръжност.
Така триъгълници AQK и AMP стават равнобедрени правоъгълни с прав ъгъл при върховете К и М.
Сега ако си означиш ъгъл САМ=а, чрез него изразяваш всички страни и образуваш периметъра на РQC. Следва малко тригонометрия и си готов. Ако искаш да ти напиша и сметките пиши, че не ми се занимава много, предполагам ще се справиш и сам. Важно е да разбереш идеята и да видиш равнобедрените триъгълници.

Опа, има и по-лесно решение.
Нека вече сме доказали, че триъгълниците са равнобедрени и правоъгълни.
Тогава в триъгълник АРQ имаме, че РМ и QK са височини, откъдето ако PM пресича KQ в точка Н, то Н е ортоцентър на триъгълник APQ. От това следва, че ако АН пресича PQ в точка Т, то АТ е перпендикулярно на PQ.
Остава да съобразиш, че РА и QA са ъглополовящи на <APQ и <PQB, откъдето AT=AD=AB=a.
Тогава от еднаквите триъгълници АДР и АТР следва, че АР=РТ, аналогично TQ=QB, откъдето РQ=DP+QB.
Така обиколката ти става DP+PC+CQ+QB=CD+BC=2a.

[martin123456]

ама то не се ли иска с ротация

[martosss]

Поправих си мнението и добавих и лесно решение без тригонометрия. За ротацация вече не знам... евентуално при ротация на РТ, тя ще се изобрази в РД, аналогично ТQ ще се изобрази в QB, ама то това ...не е за ротация просто, освен това е важно доказателството преди това, иначе как ще го представиш е въпрос на въображение.

[ganka simeonova]

Март, да се намеся. Задачата е от ротация. Предполага 8 клас. За момента в 8 клас не се изучават окръжности, преди еднаквости.
Детето иска еднаквости, не знае още свойствата на окр ( вписани, описани триъгълници и пр).

[martosss]

Още по-добре - спускаме трите височини в триъгълник АРQ и забелязваме, че се образуват два правоъгълни равнобедрени триъгълника, откъдето намираме всичките ъгли... освен това забелязваме врътката с ъглополовящите и сме готови. Така добре ли е?

П.П.Опа... не знаем къде са петите им... лоша работа.. трябва да го помисля малко

[martosss]

Детето иска еднаквости, не знае още свойствата на окр ( вписани, описани триъгълници и пр).

Ако е така, то съжалявам, ама само с Питагорова теорема не мога да я реша Трябва поне свойствата на окръжностите да се използват, за да се докажат вписаните четириъгълници и оттам да се намерят ъглите по 90. Може и да има някакъв геометричен начин, но ще е с доста построения и ... общо взето по метода на Нагласьов и Нагодиго.
Не виждам защо ако нещо е така да не можем да го използваме, защото "не било учено"... ами ще си го докажем. Любознателно било детето, прочело го, че е така, използвало го... който не вярва, да отвори учебника за 9ти-10-ти клас и да го прочете

Есенцията на задачата е, че DP+BQ=PQ, трябва това да докажем, ама как....

[v_p_a]

Благодаря за решението!Аз също стигнах до подобно решение на задачата,но проблема е,че трябва да се реши с ротация.За жалост явно на мен ми убягва нещо и не мога да се справя с нея.

[indy]

На продължението на лъча СВ нанасяме [tex]BR=PD[/tex] (или разглеждаме ротация на ъгъл -90 с център А). [tex]\Delta APD \equiv \Delta ARB \Rightarrow AP=AR[/tex].
[tex]\angle PAR=90 \Rightarrow \angle QAP=45 \Rightarrow \Delta AQR \equiv \Delta AQP \Rightarrow QP=QR=QB+BR=x+y[/tex].
[tex]PQ+QC+CP=x+y+a-x+a-y=2a.[/tex]

Ако е така, то съжалявам, ама само с Питагорова теорема не мога да я реша Трябва поне свойствата на окръжностите да се използват, за да се докажат вписаните четириъгълници и оттам да се намерят ъглите по 90. Може и да има някакъв геометричен начин, но ще е с доста построения и ... общо взето по метода на Нагласьов и Нагодиго.

Eх, martoss!

[martosss]

Eх, martoss!

Еми допълнителните построения не са ми силата, ротация и хомотетия също, тази задача доста добре го показа