построение на равностранен триъгълник

[jordano]

Задчата е следната:
Дадена е точка и разстоянията й до върховете на равностранен триъгълник. Да се построи триъгълникът.
пп. Ако точката е вътре в триъгълника задачата е лесна. Вижда ми се трудно, ако точката е извън триъгълника. Знае ли някой, решима ли е?

[ganka simeonova]

Според мен няма значение, дали точаката е външна или вътрешна. Били ми казал идеята си за построението, когато е вътрешна?

[ganka simeonova]

Да извършим ротация с център А на ъгъл [tex]+60^\circ[/tex] Тогава [tex]B->C; C->C_1; P->P_1[/tex]
Тогава [tex]APP_1[/tex] е равностранен и [tex]PP_1=x; CP_1=y; CP=z[/tex] Тогава страната на триъгълника се явява диагонал в [tex]APCP_1[/tex]. Това означава да построим този четириъгълник.
1) Построяваме равностранен триъгълник [tex]APP_1[/tex] със страна х. Построяваме [tex]\Delta PCP_1[/tex] със страни
[tex]CP=z; CP_1=y[/tex]
Така вече имаме диагонала АС, който е страната на търсения триъгълник.
Ако разгледаме точката [tex]C_2[/tex] симетрична на С относно [tex]PP_1`[/tex] другото решение ще е със страна [tex]AC_2[/tex], т.е. [tex]\Delta AB_2C_2[/tex]
ЗА единия точката Р е вътрешна, за другия- външна.

[jordano]

Благодаря Ви за елегантното решение. По мое време т.е. 1956 г. ротацията не се изучаваше. Въпреки това по сложния наш (с един мой колега на моите години) успяхме да решим проблема.

[jordano]

Решението на задачата за намиране центъра на окръжност само с пергел е публикувано в книгата:
Л. Грейъм, Математически задачи с изненадващи решения,Издателство"Наука и изкуство", София, 1988г., стр.96.
Там е дадено и доказателство на решението. Дори има и второ решение посредством инверсия.

[ganka simeonova]

Аз знам решение, с което разбира се не откривам "топлата вода" Може би и решението на Греъм е същото, но ще го пусна.
На дадената окр. избираме точка М. С център М и произволен радиус описваме окр., която пресича дадената в точки [tex]P; P_1[/tex]. Намираме точка N, която е симетрична на М, относно [tex]PP_1[/tex]. С център N и радиус NM описваме дъга, която пресича спомагателната окр. в точките [tex]Q, Q_1[/tex]. Пресечната точка О на дъгите с центрове [tex]Q, Q_1[/tex] и радиуси [tex]QM=Q_1M[/tex] е търсения център.
Доказателството идва от две двойки подобни триъгълници. Ако означим пресечната точка на дъгите с [tex]O_1[/tex] , а центърa с О, от подобните триъгълници [tex]\Delta MP_1N\approx \Delta MOP_1[/tex] и [tex]\Delta MNQ\approx \Delta MO_1Q[/tex]следва, че [tex]OM=\frac{MP_1^2}{ MN} ; O_1M=\frac{MQ^2}{ MN}[/tex]

[Baronov]

Всяко построение, което може да се направи с линия и пергел, може да се направи само с пергел.