Задача по геометрия за 10 клас

[Гост]

Медианите на бедрата на равнобедрен триъгълник сключват ъгъл от 60 градуса. Намерете косинуса на ъгъла между бедрата на триъгълника. Тази задача е от урок за скаларно произведение на вектори.

[Knowledge Greedy]

Отговор [tex]0,5[/tex]. Причината е, че триъгълникът освен равнобедрен, се оказва и равностранен, т.к. една трета от медианата към основата се оказва равна на половината от [tex]2/3[/tex] от медианата към бедрото (от малкия правоъгълен триъгълник [tex]\triangle AMG[/tex]. [tex]M[/tex] е средата на основата, [tex]G[/tex] - медицентърът.)

Вярно, има и втори случай, когато ъгълът между медианите измерваме като [tex]\angle AGM=60^\circ[/tex]. Тогава триъгълникът [tex]\triangle AGM[/tex] освен равнобедрен, се оказва и равностранен.
С точност до подобие [tex]AB=2[/tex], Медианата - височина е [tex]3\sqrt{3}[/tex] (медианите към бедрата са по [tex]3[/tex])
а самите бедра са по [tex]2\sqrt{7}[/tex]
От косинусова теорема [tex]cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{13}{14}[/tex]

______________
Решението с вектори. Означаваме с [tex]K[/tex] и [tex]N[/tex] средите на бедрата [tex]CB[/tex] и [tex]CA[/tex] - съответно. Ъгълът [tex]\gamma[/tex] - стандарно при върха [tex]C[/tex]. Търсим [tex]cos\gamma[/tex]
Избираме векторна база [tex]\vec {CA}=\vec{b}[/tex] и [tex]{CB}=\vec{a}[/tex].
Изразяваме [tex]\vec {GA}[/tex] и [tex]\vec {GB}[/tex], ъгълът между които знаем, с векторите по медианите
[tex]\vec {GA}=-\frac{2}{3}\vec {CK}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]
[tex]\vec {GB}=-\frac{2}{3}\vec {CN}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}[/tex] - а тях - с базисните вектори.

Първи случай. [tex]\angle \left (\vec {GA},\vec {GB} \right )=120^\circ[/tex]

[tex]\vec {GA}\vec {GB}=GA^2cos 120^\circ =\frac{4}{9} \left ( \vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a} \right ) \left (\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b} \right )[/tex] [tex]^{(\ast)}[/tex]
[tex]-\frac{1}{2}GA^2=\frac{5}{9}\vec{a}\vec{b}-\frac{4}{18}(\vec{a}^2+\vec{b}^2)[/tex]

Векторът по основата изразяваме с векторите по 2/3 от медианите [tex]\vec{c}=\vec {GA}-\vec {GB}[/tex] и след повдигане на втора [tex]c^2=\vec {GA}^2+\vec {GB}^2-2\vec {GA}.\vec {GB}[/tex]
следователно [tex]c^2=3GA^2[/tex]

По формула за медианата [tex]GA^2=\frac{1}{9}(a^2+2c^2)[/tex] и от горното равенство следва, че [tex]c^2=a^2[/tex]
тогава
[tex]\frac{5}{9}\vec{a}\vec{b}=\frac{4}{9}a^2-\frac{1}{6}a^2 \,\ \Rightarrow \,\ \vec{a}\vec{b}=\frac{2}{3}a^2[/tex]
Последното, след съкращаване на [tex]a^2[/tex] дава
[tex]cos\gamma = \frac{1}{2}[/tex]

Вторият случай. [tex]\angle \left (\vec {GA},\vec {GB} \right )=60^\circ[/tex] - аналогично.
Продължаваме от [tex]^{(\ast)}[/tex] - със [tex]\angle \left (\vec {GA},\vec {GB} \right )=60^\circ[/tex]

[tex]\vec {GA}.\vec {GB}=GA^2cos 60^\circ =\frac{4}{9} \left ( \vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a} \right ) \left (\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b} \right )[/tex]

[tex]\frac{1}{2}GA^2=\frac{5}{9}\vec{a}\vec{b}-\frac{4}{18}(\vec{a}^2+\vec{b}^2)[/tex]

Векторът по основата изразяваме с векторите по 2/3 от медианите [tex]\vec{c}=\vec {GA}-\vec {GB}[/tex] и след повдигане на втора [tex]c^2=\vec {GA}^2+\vec {GB}^2-2\vec {GA}\vec . {GB}[/tex]
следователно [tex]c^2=GA^2[/tex]

По формула за медианата [tex]GA^2=\frac{1}{9}(a^2+2c^2)[/tex] и от горното равенство следва, че [tex]7c^2=a^2[/tex]

Но [tex]\vec{c}= \vec{a}- \vec{b}[/tex] и след повдигане на квадрат [tex]c^2=a^2+b^2-2 \vec{a} \vec{b}[/tex]
умножаване по [tex]7[/tex] и заместване получаваме [tex]7c^2=7a^2+7b^2-14 \vec{a} \vec{b}[/tex]
[tex]14\vec{a}\vec{b}=13a^2[/tex]
равносилно на
[tex]14a.acos\gamma = 13a^2[/tex] и вторият отговор е налице.

[Гост]

Много благодаря!

[Гост]

Последен въпрос: от къде идва това GA^{2}=1/9(a^{2}+2c^{2}) като формулата за медиана попринцип е Ma= 1/2[tex]\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}[/tex]

[Гост]

Отговор [tex]0,5[/tex]. Причината е, че триъгълникът освен равнобедрен, се оказва и равностранен, т.к. една трета от медианата към основата се оказва равна на половината от [tex]2/3[/tex] от медианата към бедрото (от малкия правоъгълен триъгълник [tex]\triangle AMG[/tex]. [tex]M[/tex] е средата на основата, [tex]G[/tex] - медицентърът.)

Вярно, има и втори случай, когато ъгълът между медианите измерваме като [tex]\angle AGM=60^\circ[/tex]. Тогава триъгълникът [tex]\triangle AGM[/tex] освен равнобедрен, се оказва и равностранен.
С точност до подобие [tex]AB=2[/tex], Медианата - височина е [tex]3\sqrt{3}[/tex] (медианите към бедрата са по [tex]3[/tex])
а самите бедра са по [tex]2\sqrt{7}[/tex]
От косинусова теорема [tex]cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{13}{14}[/tex]

______________
Решението с вектори. Означаваме с [tex]K[/tex] и [tex]N[/tex] средите на бедрата [tex]CB[/tex] и [tex]CA[/tex] - съответно. Ъгълът [tex]\gamma[/tex] - стандарно при върха [tex]C[/tex]. Търсим [tex]cos\gamma[/tex]
Избираме векторна база [tex]\vec {CA}=\vec{b}[/tex] и [tex]{CB}=\vec{a}[/tex].
Изразяваме [tex]\vec {GA}[/tex] и [tex]\vec {GB}[/tex], ъгълът между които знаем, с векторите по медианите
[tex]\vec {GA}=-\frac{2}{3}\vec {CK}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]
[tex]\vec {GB}=-\frac{2}{3}\vec {CN}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}[/tex] - а тях - с базисните вектори.

Първи случай. [tex]\angle \left (\vec {GA},\vec {GB} \right )=120^\circ[/tex]

[tex]\vec {GA}\vec {GB}=GA^2cos 120^\circ =\frac{4}{9} \left ( \vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a} \right ) \left (\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b} \right )[/tex] [tex]^{(\ast)}[/tex]
[tex]-\frac{1}{2}GA^2=\frac{5}{9}\vec{a}\vec{b}-\frac{4}{18}(\vec{a}^2+\vec{b}^2)[/tex]

Векторът по основата изразяваме с векторите по 2/3 от медианите [tex]\vec{c}=\vec {GA}-\vec {GB}[/tex] и след повдигане на втора [tex]c^2=\vec {GA}^2+\vec {GB}^2-2\vec {GA}.\vec {GB}[/tex]
следователно [tex]c^2=3GA^2[/tex]

По формула за медианата [tex]GA^2=\frac{1}{9}(a^2+2c^2)[/tex] и от горното равенство следва, че [tex]c^2=a^2[/tex]
тогава
[tex]\frac{5}{9}\vec{a}\vec{b}=\frac{4}{9}a^2-\frac{1}{6}a^2 \,\ \Rightarrow \,\ \vec{a}\vec{b}=\frac{2}{3}a^2[/tex]
Последното, след съкращаване на [tex]a^2[/tex] дава
[tex]cos\gamma = \frac{1}{2}[/tex]

Вторият случай. [tex]\angle \left (\vec {GA},\vec {GB} \right )=60^\circ[/tex] - аналогично.
Продължаваме от [tex]^{(\ast)}[/tex] - със [tex]\angle \left (\vec {GA},\vec {GB} \right )=60^\circ[/tex]

[tex]\vec {GA}.\vec {GB}=GA^2cos 60^\circ =\frac{4}{9} \left ( \vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a} \right ) \left (\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b} \right )[/tex]

[tex]\frac{1}{2}GA^2=\frac{5}{9}\vec{a}\vec{b}-\frac{4}{18}(\vec{a}^2+\vec{b}^2)[/tex]

Векторът по основата изразяваме с векторите по 2/3 от медианите [tex]\vec{c}=\vec {GA}-\vec {GB}[/tex] и след повдигане на втора [tex]c^2=\vec {GA}^2+\vec {GB}^2-2\vec {GA}\vec . {GB}[/tex]
следователно [tex]c^2=GA^2[/tex]

По формула за медианата [tex]GA^2=\frac{1}{9}(a^2+2c^2)[/tex] и от горното равенство следва, че [tex]7c^2=a^2[/tex]

Но [tex]\vec{c}= \vec{a}- \vec{b}[/tex] и след повдигане на квадрат [tex]c^2=a^2+b^2-2 \vec{a} \vec{b}[/tex]
умножаване по [tex]7[/tex] и заместване получаваме [tex]7c^2=7a^2+7b^2-14 \vec{a} \vec{b}[/tex]
[tex]14\vec{a}\vec{b}=13a^2[/tex]
равносилно на
[tex]14a.acos\gamma = 13a^2[/tex] и вторият отговор е налице.

Здравейте! Може ли да обясните защо тук [tex]\vec {GA}\vec {GB}=GA^2cos 120^\circ[/tex] GA е повдигнато на квадрат, как се получава?
Благодаря!