Скаларно произведение на вектори

[Гост]

Върху страните $AB$ и $AC$ на равностранняи триъгълник $ABC$ са взети съответно точките $E$ и $D$ така, че $\dfrac{BE}{EA}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac12$. Отсечките $BD$ и $CE$ се пресичат в точката $P$. Да се докаже, че $\measuredangle APC=90^\circ$.

Задачата е след урока за скаларно произведение на вектори. Една от теоремите в него е, че два вектора са перпендикулярни тогава и само тогава, когато скаларното им произведение е нула. Как може да използваме това? Благодаря! Не успях да си избера база, с която да изразя векторите.

[Гост]

ve.png (27.88 KiB) Прегледано 1260 пъти

[Nathi123]

Нека АВ = ВС = АС = a. От условието на задачата [tex]\Rightarrow CD= AE=\frac{2a}{3}; \vec{CD}= \frac{2a}{3}. \vec{CA};DA= BE=\frac{a}{3}[/tex].Построяваме ЕL||AC.
L[tex]\in BD; BL+LP+PD=BD[/tex] . От Т на Талес и подобните триъгълници ELP и DPC[tex]\Rightarrow BL= \frac{BD}{3};PL= \frac{DP}{6}; LD= \frac{7DP}{6}= \frac{2BD}{3}[/tex].
[tex]\Rightarrow DP= \frac{4}{7} .BD; BP= \frac{3}{7}.BD \Rightarrow \frac{DP}{BP} \Rightarrow \vec{CP}= \frac{3}{7} \vec{CD}+ \frac{4}{7} . \vec{CB}[/tex]
Аналогично [tex]\vec{AP}= \frac{3}{7} \vec{AD}+ \frac{4}{7} \vec{AB}= \frac{3}{7}. \frac{2}{3}. \vec{CA}+ \frac{4}{7}( \vec{CB} - \vec{CA})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \vec{AP}=- \frac{1}{7} \vec{CA}+ \frac{4}{7}. \vec{CB}[/tex] (1)
[tex]\vec{CP}= \frac{2}{7} \vec{CA} + \frac{4}{7} \vec{CB}[/tex](2) . Умножаваме почленно равенства (1) и (2) и получаваме,че
[tex]\vec{AP}. \vec{CP} =- \frac{10}{49} \vec{CA} ^{2 }- \frac{12}{49} \vec{CA} . \vec{CB} + \frac{16}{49} \vec{CB} ^{2 }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \vec{AP}. \vec{CP} =- \frac{10}{49} a ^{2 } - \frac{12a ^{2 } }{49}. \frac{1}{2}+ \frac{16a ^{2 } }{49}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \vec{AP}. \vec{CP} = 0 \Leftrightarrow \angle APC=90 ^\circ[/tex].