Дължина на вектор

[Гост]

Здравейте, имам следния въпрос:
Имаме два вектора [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] с дължини [tex]|\vec{a}| = \sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{13}[/tex] и ъгъл между тях 60 градуса.

Търсим дължината на вектор [tex]\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}[/tex]

Един начин да се намери дължината на вектора [tex]\vec{c}[/tex] е като се намери скаларното произведение на a и b и като се повдигне изразът на квадрат и след това съответно вземаме квадратния корен от получения резултат. Въпросът ми е - има ли друг начин да се намери дължината на вектора с, без да се повдигне на квадрат?

[ammornil]

Векторни калкулации могат да се правят в комплексен запис, но това не опростява изчисленията и не виждам как може да се избегне коренуването.

Скрит текст: покажи

[tex]\vec{a}=|a|\cdot e^{\normalsize{j\cdot \varphi_{a}}}; \hspace{0.5em} \vec{b}=|b|\cdot e^{\normalsize{j\cdot \varphi_{b}}}; \hspace{0.5em} \varphi_{b}-\varphi_{a}=\frac{\pi}{3}[/tex]

[tex]: \varphi_{a}=0 \Rightarrow \varphi_{b}=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \hspace{0.5em} \begin{cases} \vec{a}=|a|\cdot \cos{0}+j\cdot{|a|}\cdot \sin{0} \\ \vec{b}=|b|\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}+j\cdot |b|\cdot \sin{\frac{\pi}{3}} \end{cases}[/tex]

[tex]\vec{c}=2\cdot{\vec{a}}-\vec{b}=2\cdot{|a|}-|b|\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}-j\cdot |b|\cdot \sin{\frac{\pi}{3}} \Rightarrow \hspace{0.5em} \begin{array}{|l} |c|=\sqrt{\left(2\cdot{|a|}-|b|\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}\right)^{2}+\left(|b|\cdot \sin{\frac{\pi}{3}}\right)^{2}} \\ \varphi_{c}=\arctg \left( -\frac{\normalsize{|b|\cdot \sin{\frac{\pi}{3}}}}{\normalsize{2\cdot{|a|}-|b|\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}}} \right)\end{array} \Rightarrow \vec{c}=|c|\cdot e^{\normalsize{j\cdot \varphi_{c}}}[/tex]


[tex]j=\sqrt{-1}[/tex]

[grav]

Може да разгледаш триъгълник със страни [tex]2a[/tex] и [tex]b[/tex] и ъгъл [tex]60 ^\circ[/tex] и да изпозваш косинусувата теорема. Това разбира се не е различно, а точно същото, но е нещо с което учениците са свикнали.

[Гост]

Може да разгледаш триъгълник със страни [tex]2a[/tex] и [tex]b[/tex] и ъгъл [tex]60 ^\circ[/tex] и да изпозваш косинусувата теорема. Това разбира се не е различно, а точно същото, но е нещо с което учениците са свикнали.

Ако използвам косинусовата теорема по този начин, тогава не бих ли получил един и същ отговор за векторите [tex]2 \vec{a} - \vec{b}[/tex] и [tex]2 \vec{a} + \vec{b}[/tex], които в действителност са различни

[ammornil]

Ако използвам косинусовата теорема по този начин, тогава не бих ли получил един и същ отговор за векторите [tex]2 \vec{a} - \vec{b}[/tex] и [tex]2 \vec{a} + \vec{b}[/tex], които в действителност са различни

Триъгълниците определени от векторните тройки [tex](2\vec{a},\hspace{0.5em} -\vec{b},\hspace{0.5em} \vec{c}=2\vec{a}+ (-\vec{b}))[/tex] и [tex](2\vec{a},\hspace{0.5em} \vec{b},\hspace{0.5em} \vec{c}=2\vec{a}+ \vec{b})[/tex] са различни. Няма как да получите еднаква стойност за [tex]\vec{c}[/tex].
[tex][/tex]

[grav]

Може да разгледаш триъгълник със страни [tex]2a[/tex] и [tex]b[/tex] и ъгъл [tex]60 ^\circ[/tex] и да изпозваш косинусувата теорема. Това разбира се не е различно, а точно същото, но е нещо с което учениците са свикнали.

Ако използвам косинусовата теорема по този начин, тогава не бих ли получил един и същ отговор за векторите [tex]2 \vec{a} - \vec{b}[/tex] и [tex]2 \vec{a} + \vec{b}[/tex], които в действителност са различни

Не, защото ъгълът във втроият случай ще е [tex]120^\circ[/tex].

[Гост]

Благодаря Ви и на двамата за чертежите и обясненията!