Намиране на координати

[Гост]

Добър ден, бихте ли помогнали с тази задача?
Върховете на триъгълник АВС имат координати А(1,1), В(-3,-2) и С(-2,3). Да се намерят дължините на страните на триъгълника и ъгълът при върха А.

[ammornil]

Добър ден, бихте ли помогнали с тази задача?
Върховете на триъгълник АВС имат координати А(1,1), В(-3,-2) и С(-2,3). Да се намерят дължините на страните на триъгълника и ъгълът при върха А.

$$ M(x_{M}; y_{M}), N(x_{N}, y_{N}) \rightarrow |MN| = \sqrt{(x_{M}-x_{N})^{2}+(y_{M}-y_{N})^{2}} \\ M\in p, N\in p \hspace{1em} \rightarrow p: \frac{x-x_{M}}{x_{N}-x_{M}}=\frac{y-y_{M}}{y_{M}-y_{N}}$$ $$ p: y_{p} = a_{p}x+b_{p}, \hspace{1em} q: y_{q} = a_{q}x+b_{q}, \hspace{1em} \theta=\angle(p,q) \Rightarrow \tg{\theta}=\left|\frac{a_{q}\cdot b_{p}-a_{p}\cdot b_{q}}{a_{p}\cdot a_{q} + b_{p}\cdot b_{q}} \right| $$

Намираме дължините на страните по първата формула по-горе, като последователно заместваме с координатите на всеки две точки.
Намираме уравненията на правите на страните, които съдържат върха [tex]A[/tex].

Скрит текст: покажи

[tex]AB: \frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}} \Rightarrow \frac{x-1}{-3-1}=\frac{y-1}{-2-1} \Leftrightarrow -\frac{x-1}{4}=-\frac{y-1}{3} \Leftrightarrow 3x-3=4y-4 \Leftrightarrow y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4} \\ AC: \frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}} \Rightarrow \frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-1}{3-1} \Leftrightarrow -\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2} \Leftrightarrow -2x+2=3y-3 \Leftrightarrow y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}[/tex]

От уравненията на правите определяме ъгъла между тях:

Скрит текст: покажи

[tex]\tg{\angle{(AB, AC)}}=\left|\frac{-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{3}}{\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{4}\cdot \frac{5}{3}} \right|=\left| \frac{-\frac{1}{6}-\frac{5}{4}}{-\frac{1}{2}+\frac{5}{12}} \right|=\left| \frac{\frac{-1\cdot 2-5\cdot 3}{12}}{\frac{-1\cdot 6+5}{12}} \right|=17 \Rightarrow \angle{(AB, AC)}=\arctg{17}[/tex]

Може да съм допуснал някъде грешка при заместването или изчисленията, защото пиша директно в ЛАТЕКС, но редът и формулите са тези.