Правилна четириъгълна призма

[Donatello]

През върха [tex]A[/tex] на правилна четириъгълна призма [tex]ABCDA_1B_1C_1D_1[/tex] е построена равнина, сечението на която с призмата е ромб. Да се докаже, че [tex]cos\alpha=tg\frac{\beta}{2 }[/tex] , където [tex]\alpha[/tex] е ъгълът между равнината на сечението и равнината на основата на призмата, а [tex]\beta[/tex] е острият ъгъл на ромба .

[Spider Iovkov]

Нека означенията са както на картинката, като [tex]AKTL[/tex] е ромбът сечение и [tex]M[/tex] е пресечната точка на неговите диагонали.

Тогава [tex]\angle CAT=\alpha[/tex] и [tex]\angle KAL=\beta[/tex]. Сега [tex]\triangle AKM[/tex] е правоъгълен, откъдето получаваме

[tex]\tan \angle KAM = \tan {\frac{\beta}{2}} = \frac{KM}{AM} = \frac{\frac{1}{2} KL}{\frac{1}{2} AT} = \frac{KL}{AT}[/tex].

Но [tex]LK || BD \Rightarrow \tan {\frac{\beta}{2}} = \frac{BD}{AT} = \frac{AC}{AT}[/tex], защото [tex]AC=BD[/tex]. От правоъгълния [tex]\triangle ACT[/tex] намираме [tex]cos \alpha = \frac{AC}{AT}[/tex],

т. е. [tex]cos \alpha = \tan {\frac{\beta}{2}}[/tex].