Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Може ли някой да ми помогне със следната задача:

Хипотенузата АВ на правоъгълния триъгълник АВС лежи в равнина α, а катетите му образуват с нея ъгли ∏/4 и ∏/6. Да се намери синуса на ъгъла между α и равнината АВС.

[s.karakoleva]

Нека [tex]CH[/tex]- височина на [tex]\triangle ABC[/tex], [tex]np_\alpha C=C_1[/tex]. Тогава нека [tex]\angle CAC_1=\frac{\pi}{4}[/tex], [tex]\angle CBC_1=\frac{\pi}{6}[/tex] и [tex]\angle CHC_1[/tex] е двустенен ъгъл между [tex](ABC)[/tex] и [tex]\alpha[/tex], да го означим с [tex]\gamma[/tex].

Нека [tex]CC_1=x[/tex], [tex]BC=a, AC=b, AB=c, CH=h[/tex].

От [tex]\triangle CC_1H[/tex]-правоъгълен ([tex]\angle C_1=90^\circ[/tex])[tex]\Rightarrow \sin\gamma=\frac{x}{h}.[/tex]

От [tex]\triangle AC_1C\Rightarrow \frac{x}{b}=\sin\frac{\pi}{4}\Rightarrow b=\sqrt 2 x[/tex].

От [tex]\triangle BC_1C\Rightarrow \frac{x}{a}=\sin\frac{\pi}{6}\Rightarrow a= 2 x[/tex].

От [tex]\triangle ABC\Rightarrow ab=ch\Rightarrow h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt 2 x\cdot 2x}{\sqrt{2x^2+4x^2}}=\frac{2x}{\sqrt 3}\Rightarrow \sin\gamma=\frac{x}{\frac{2x}{\sqrt 3}}=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex].